Memorizzare le operazioni con seno e coseno

[Snipy]

Io ve lo giuro, con tutta la buona volontà che ci metto, non riesco a memorizzarle. Mi riferisco ad operazioni del tipo $ sin (2x)=2sin (x)cos (x) $ e alle altre, voi come fate? Ci sono dimostrazioni? Potete linkarmele per favore?
Ne approfitto per chiedere un'altra cosa, visto che sono un po' arrugginito: cosa vuol dire la 'k' che si trova nei risultati tipo '2k180' ?
Grazie in anticipo e mi scuso se non è la sezione corretta!

[Zero87]

Ciao e benvenuto nel forum (vedo che questo è il tuo secondo messaggio ).

Comunque io, al liceo, per memorizzarle usavo il trucco più antico e semplice del mondo, cioè impararle a memoria a forza di ripeterle. Sono sicuro che interverrà qualcuno per dirmi male (immagino "in matematica non si impara a memoria" e simili) ma non mi importa.
Facendo esercizi su esercizi le formule si imparano ad utilizzarle, si capiscono ma "non si memorizzano", soprattutto quelle del seno e del coseno. A meno che non sia io l'unico utente del forum che non ha una memoria decente. Il ché può anche essere perché sono uno di quelli che accende la luce perché non si ricorda se è spenta.

Le dimostrazioni stanno su wikipedia. Cerchi, ad esempio, "coseno" e, a metà pagina ci sono le dimostrazioni delle formule della somma ecc... Le dimostrazioni su wikipedia sono "spoilerizzate".


Ciaociao

[alfaceti]

Anche io penso che il modo migliore per impararle sia usarle negli esercizi, comunque io uso alcuni trucchi per ricordarmele. Se le guardi noterai qualche particolarità che le caratterizza e che te le fa memorizzare meglio, tipo quelle di addizione e sottrazione e quelle di prostaferesi. Per ricordare le relazioni tra gli angoli che differiscono di 90°, di 180°, ecc io visualizzo un disegno nella mente. Tutte le altre me le sono stampate in testa quando le ho lette, capisco che se non hai una buona memoria fotografica è più difficile ma a furia di usarle dovresti memorizzarle. Io stessa le ricordo perchè le uso tutti i giorni ma penso che se non le usassi anche io le dimenticherei. Non penso che abbia poi tutta questa importanza, l'importante è essere in grado di dimostrarle. Si parte dalle formule di addizione e sottrazione e da lì si dimostrano tutte le altre.

[Snipy]

Grazie mille dei consigli
Per quanto riguarda quel 'k' invece?

[dissonance]

Le formule importanti infatti sono quelle di addizione e di sottrazione: esse, unite alla continuità, caratterizzano completamente le funzioni seno e coseno. Da queste due proprietà, quindi, discendono tutte le altre.

Per capire bene le formule di addizione conviene portarsi nel piano complesso, definendo la funzione

$theta \in RR \mapsto cos theta + i sin theta$.

Le formule di addizione ci dicono esattamente che

$cos(theta_1+theta_2)+i sin(theta_1+theta_2)=(cos theta_1+i sin theta_1 )*(cos theta_2 + i sin theta_2)$,

ovvero, per chi mastica un po' di algebra, che l'applicazione ora definita è un omomorfismo di gruppi da $(RR, +)$ in $(CC-{0}, **)$. Ciò significa che questa applicazione trasforma somme in prodotti.

Ora questo è esattamente quanto, nel caso reale, fanno le funzioni esponenziali: $a^{x+y}=a^xa^y$. E' qui l'idea dietro la famosa formula di Eulero:

$e^{i theta}=cos theta + i sin theta$.

[Snipy]

Ti ringrazio dissonance per la buona volontà, ma non ho mai usato i numeri complessi in vita mia, né li ho mai studiati!

[Zero87]

In genere quando trovi scritto $2k180$ - anche se io non l'ho mai visto, in genere vedo scritto l'equivalente in radianti $2k\pi$ - vuol dire che con quella scrittura caratterizzi tutte le possibili soluzioni. Anche quelle che si ripetono superato l'intervallo del periodo del coseno (o seno).

Non so se mi sono spiegato, meglio che faccio un esempio.

Quando è che $cos \alpha =1$? La risposta è (se non lo sai a forza di fare esercizi basta disegnare la circonferenza goniometrica o altri metodi che ti hanno insegnato) per $\alpha=180°$. Però, questa risposta non è esatta - o meglio - è esatta nell'intervallo $[0,360°]$ (oppure $[0,2\pi]$ se usi i radianti invece che i gradi).
Allora ci si chiede, "se considero tutto $\RR$ qual'è la soluzione?". E la risposta è $\alpha =2k 180°$ con $k$ intero.
In questo modo, al variare di $k$ hai tutte le possibili soluzioni (infatti, con $k$ intero vuol dire $k=$ $... $ $-2 $ $-1 $ $0 $ $ 1 $ $2 $ $... $ e le soluzioni sono $\alpha = $ $...$ $-720°$ $-360°$ $0°$ $360°$ $720°$ $...$ e per tutti questi valori il coseno vale uno) perché il coseno ha un periodo di $360°$ cioè, detta alla buona se non hai ancora visto il "periodo", dopo 360 gradi si ripete. Quel $2k180°$ potresti vederlo meglio come $k360$ per rendere meglio l'idea in gradi. Quella lì è una scrittura da radianti.

Non so se si è capito, probabilmente no o almeno ne dubito. Sinceramente me lo auguro.

_____

@dissonance: quello che hai scritto l'ho visto all'ultima lezione di analisi complessa

[itpareid]

Quando è che $cos \alpha =1$? La risposta è ... per $\alpha=180°$.

???

[Zero87]

Quando è che $cos \alpha =1$? La risposta è ... per $\alpha=180°$.

???

Errore di correzione del messaggio. L'originale era:

"Quando è che $cos \alpha =-1$? La risposta è ... per $\alpha=180°$."

Poi però mi ricordavo del $2k180$ e, invece di andare a finire nel $(2k+1)180$ per venire incontro alla domanda ho tolto il meno senza correggere l'angolo.

La risposta è "per $\alpha=0°$" oppure "per $\alpha=360°$" il ché rientra nel discorso sulla periodicità!

Puoi vedere che sono in buona fede perché i valori che variano a diversi valori di $k$ sono giusti!

Grazie itpareid, non mi ero accorto della svista!

[itpareid]

infatti. immaginavo fosse un errore di battitura