espressione goniometrica

[sentinel]

Buon dì, vorrei sapere da voi se ho risolto in modo corretto la seguente espressione:


$arcsin(1/3)+arccos(1/3)+arctg(1/3)+arccotg(1/3)$


Il risultato da me ottenuto è $pi/2$



Grazie per l'aiuto

[prime_number]

Secondo me fa $\pi$. Puoi mostrare i conti?

Paola

[sentinel]

Sicuramente ho sbagliato!

Non ho ben capito come deve essere calcolato arcsin. So che è la funzione inversa del seno ma non capisco da dove devo iniziare.

Saresti cosi gentile da spiegarmi come devo procedere?

Grazie mille.

[prime_number]

Guarda, questo esercizio è un inganno, non c'è assolutamente nulla da calcolare!
Ricorda che angoli complementari hanno seno e coseno "scambiati" e idem per tangente e cotangente. Fare un disegno sul cerchio goniometrico per credere.
Dunque la somma dei primi 2 dà $\pi/2$ e lo stesso la somma degli ultimi 2.

Paola

[sentinel]

La somma dei primi due come l'hai calcolata?

[Gi8]

Si dimostra che $arcsin(x)=pi/2-arccos(x)$, ovviamente $AA x in [-1,1]$.
Scrivo in spoiler una possibile dimostrazione:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Chiamato $alpha=pi/2-arccos(x)$, vogliamo dimostrare che $alpha=arcsin(x)$
si ha $cos(pi/2-alpha)=x$.
Sappiamo che $cos(pi/2-alpha)=sin(alpha)$ ( è una proprietà trigonometrica),
dunque l'uguaglianza di prima diventa:
$sin(alpha)=x=> alpha=arcsin(x)$
Che era ciò che volevamo dimostrare

Da questo si deduce che $AA x in [-1,1]$ si ha $arcsin(x)+arccos(x)=pi/2$

[sentinel]

Grazie Gi8 per la spiegazione!

Alla prossima!