La retta di Eulero.

[karl]

Ho ripescato un vecchio post nel quale si diceva che ,detti H,G,O rispettivamente l'ortocentro,il baricentro ed il circocentro di un triangolo ,risulta che:
H,G,O sono allineati (la retta di Eulero) ed inoltre e' HG=2*GO.
Ecco una dimostrazione,forse gia' nota o forse no.
Chiamiamo ABC il triangolo.
Siano M1,M2,M3 i punti medi di BC,AC,AB.Come e' noto
risulta AG=2*GM1 ,BG=2*GM2,CG=2*GM3.Ne segue che
le coppie di punti (A,M1) ,(B,M2), (C,M3) si corrispondono
nella omotetia (inversa) di centro G e rapporto =-2.
Pertanto ai punti notevoli del triangolo ABC corrispondono,in
questa omotetia,i punti notevoli del triangolo M1M2M3
In particolare all'ortocentro H corrisponde l'ortocentro di M1M2M3
ma tale ortocentro ,com'e' noto, e' proprio il circocentro
O e quindi,per l'omotetia di cui prima,H ed O sono allineati con G
ed inoltre HG=|-2|*GO.
C.V.D.
karl.

[Cavia]

La dimostrazione dell'allineamento di Circocentro, ortocentro e baricentro mediante una omotetia si trova su:
Court - College Geometry - Johnson, Richmond, 1952 a pagina 104
ed è citata anche in
Coxeter - Introduction to Geometry - J.Wiley, 1961 a pagina 71

Cavia

[karl]

Ovviamente la dimostrazione che ho postato non e'
mia,ma mi e' sembrata divertente al punto giusto
per farla conoscere a chi non l'avesse mai vista.
Penso che almeno il 90% delle cose che si dicono su
questo forum abbia origini.... non originali.
Le mie fonti comunque non sono cosi' importanti come le tue.
Mi sono avvalso,come ti ho detto anche altre volte,
di un buon libro di liceo: "Geometria e complementi"
di G.Pepe ,edito da Le Monnier nel 1993 e non nell'immediato
dopo II Guerra Mondiale.Ma forse l'autore avra' copiato
la dimostrazione dal tuo testo.
Grazie per l'informazione:cerchero' di procurarmi i libri da te
indicati,sempre che siano ancora reperibili.
Saluti da karl.




Modificato da - karl il 09/02/2004 00:05:17

[Cavia]

La dimostrazione si trova su molti altri libri. Ho cercato di individuare l'originale e ho appunto trovato l'indicazione di Court sul libro di Coxeter. Era solo una precisazione storica. Tutto qua.

Cavia

[vecchio]

dai Cavia ammettilo...in realtà hai fatto le elementari con quel tuo simpatico amico Court, che ora è in ristrettezze economiche e volevi dargli una mano...e poi CONFESSA..in realtà hai 97 anni!!!!

chiedo scusa per la parentesi goliardica...

ora mi annichilisco...

ciao
il vecchio