Equazione Trigonometrica

[max0009]

Buongiorno!

Avrei una domanda da proporvi.

Data:

$2cos^2(x) = sin(2x) ; 0 <= x <= \pi$

Ho svolto:

$2cos^2(x) = 2sin(x)cos(x)$

$(2cos^2(x))/(2cos(x)) = (2sin(x)cos(x))/(2cos(x))$

$sin(x) = cos(x)$

Che da come unica soluzione, per l'intervallo specificato: $x = \pi/4 = 1/\sqrt(2)$

Essendoci tuttavia un termine quadrato: $cos^2(x)$ mi è venuto in mente che potesse esserci una seconda soluzione. Tuttavia, l'unico modo che ho avuto per trovarla è stato approssimando il disegno della funzione. Nello specifico, trovato i punti di intersezione con l'asse X:

$cos^2(\pi/2) = 0, sin(2(\pi/2)) = 0$

Se tuttavia il punto in comune non avesse avuto valore y uguale a zero, avrei avuto più difficoltà a trovare il punto. Esiste un metodo algebrico per risolvere l'equazione trovando tutte le soluzioni? In generale, come faccio a sapere quante soluzioni ha una data equazione?

[Summerwind78]

Temo che l'errore nasca quando tu dividi da entrambe le parti per $cos(x)$

in quel caso non hai posto le condizioni di esistenza ovvero \( \displaystyle cos(x)\neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} \)

che ti esclude proprio la seconda soluzione che hai trovato

[max0009]

Ciao Summerwind78,

Temo di non capire il tuo punto... $\pi/2$ è effettivamente una soluzione di $2cos^2(x) = sin(2x)$, forse intendevi dire che dividere per $cos(x)$ esclude la possibilità che io trovi la soluzione, senza però escludere la soluzione stessa? In quel caso, come dovrei procedere per trovare sia $\pi/4$ che $\pi/2$?

[chiaraotta]

Da $2cos^2(x) = 2sin(x)cos(x)$ ...
Dividendo per $2$, portando tutto a primo membro e raccogliendo $cos(x)$:
$cos(x)*[cos(x)-sin(x)]=0$.
Da cui
$cos(x)=0->x=pi/2$
e
$cos(x)-sin(x)=0->tg(x)=1->x=pi/4$

[max0009]

Ciao Chiaraotta, grazie per la spiegazione!

In questi casi basta quindi raggruppare il termine quadrato e risolvere per $cos(x) = 0$ e $cos(x)-sin(x)=0$, giusto? Se invece di $cos^2(x)$ avessi $cos^n(x)$ avrei $n$ soluzioni uguali?

[chiaraotta]

Se ci si riconduce ad avere che un prodotto è $=0$, allora è $=0$ uno dei fattori (legge di annullamento del prodotto).
Fosse stato
$2*cos^3(x)=2*cos(x)*sin(x)$, allora
$cos^3(x)=cos(x)*sin(x)$,
$cos^3(x)-cos(x)*sin(x)=0$,
$cos(x)*[cos^2(x)-sin(x)]=0$.
Da cui
$cos(x)=0$
o
$cos^2(x)-sin(x)=0$.

[max0009]

Grazie mille, spiegazione utilissima

Auguratemi buona fortuna per la verifica di domani!

[@melia]

A uno che ha una verifica non augurerei mai buona fortuna, che porta male, se mai un "in bocca al lupo" di cuore!