Visto che parli da tempo di relazioni, dovresti sapere che (formalmente) una funzione \(f\) tra due insiemi non vuoti \(X\) e \(Y\) è una particolare relazione tra \(X\) e \(Y\); per essere precisi è una relazione (i.e. un sottoinsieme di \(X\times Y\)) che gode della seguente proprietà:
\[
\forall (x_1,y_1),(x_2, y_2)\in f,\quad x_1=x_2 \ \Rightarrow \ y_1=y_2 \; .
\]
Questa definizione (seppure formalmente ineccepibile) ha due grosse pecche:
1 è totalmente inutile a chi non sappia nulla di Algebra Astratta e
2 non è applicabile in alcuni interessantissimi "casi concreti".
Mentre il punto
1 è evidente (se uno non ha mai sentito parlare di relazioni, la definizione di funzione non la può capire), il punto
2 rimane oscuro finché non si affronta l'Analisi Complessa...
Ad esempio, è comune, in Analisi Complessa, avere a che fare con "funzioni" che ad uno stesso punto assegnano più valori diversi: tali "funzioni" si chiamano
funzioni multivoche o
polidrome e si presentano necessariamente quando si elabora la teoria della variabile complessa (nel senso che esse non possono "essere evitate"), pur non essendo funzioni del tipo definito sopra.
Tanto per fare un esempio, il logaritmo e la radice sono funzioni polidrome nel campo complesso \(\mathbb{C}\).
Per ovviare a queste due pecche, si definisce di solito una funzione come una tripletta ordinata \((X,Y,f(x))\) costituita da due insiemi non vuoti \(X\) (il dominio) ed \(Y\) (il codominio) e da una legge di assegnazione \(x\mapsto f(x)\) che consente di assegnare ad \(x\in X\) un valore \(f(x)\in Y\) (nel caso usuale, o più valori nel caso
polidromo).
Questa definizione più sbrigativa è più intuitiva della precedente e perciò è più usata da chi si sente soffocato dall'eccessiva rigidità degli oggetti con cui si ha a che fare nell'Algebra Astratta, come ad esempio alcuni Analisti (specialmente che fa PDE o CdV).
Infatti, al di là dell'approccio formale, il matematico che si occupa di problemi concreti non può perdere di vista il fatto che una funzione è la descrizione di un oggetto che ha un certo grado d'aderenza con la realtà.
Ad esempio una funzione \(u:\Omega \to \mathbb{R}\) di classe \(C(\overline{\Omega})\cap C^1(\Omega)\) (qui \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^2\) è un aperto limitato, mettiamo pure connesso) che risolve il seguente problema di minimo:
\[
\min \left\{ \int_\Omega \sqrt{1+|\nabla u(x)|^2}\ \text{d} x,\ u=u_0 \text{ su } \partial \Omega\right\}
\]
ove \(u_0:\partial \Omega \to \mathbb{R}\) è una funzione continua assegnata (questo è il cosiddetto
problema dell'area minima in forma non parametrica, o
problema di Plateau) rappresenta la forma che assume una pellicola di acqua e sapone che si forma quando si trae dall'acqua e sapone un filo di ferro piegato in modo da seguire il grafico di \(u_0\).
Che in realtà \(u\) sia una relazione così e così, in questo contesto non serve a nulla (nel senso che è una informazione priva di senso rispetto al problema).
Quindi, come al solito, alcune definizioni sono appropriate in certi contesti, altre in altri... Dipende da cosa cerchi di far capire a chi ti ascolta/legge ovvero da ciò che stai studiando come ricercatore.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)