Luogo dei centri delle sfere che passano per tre punti

[syxvicious]

Trovare il luogo dei centri delle sfere che passano per i punti:
O(0; 0; 0)
A(2; 0; 0)
B(0; 2; 3)
e scrivere un'equazione cartesiana della sfera di raggio minimo.

Sono già in difficoltà a scrivere l'equazione di una sfera passante per quei tre punti.
Fate un intervento anche solo discorsivo... tanto da mettermi sulla strada.
Grazie della disponibilità!

[ale.b]

Innanzi tutto nota che per tre punti non allineati nello spazio passa una e una sola circonferenza e questa circonferenza giace su di un piano.
Ad occhio, il luogo dei centri di tutte le sfere passanti per questi tre punti è la retta perpendicolare a questo piano, passante per il centro della circonferenza da essi determinata.
La sfera di raggio minimo in tal caso sarebbe quella che ha per centro il centro della circonferenza determinata dai tre punti.
Ti quadra?

[speculor]

Puoi procedere anche per via puramente algebrica:

$[x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0] rarr \{(d=0),(4+2a+d=0),(4+9+2b+3c+d=0):} rarr \{(d=0),(a=-2),(c=-2/3b-13/3):}$

$[x^2+y^2+z^2-2x+by-(2/3b+13/3)z=0] rarr C(1,-b/2,b/3+13/6) ^^ [R=1/2sqrt(13/36b^2+13/9b+205/36)]$

[dissonance]

Innanzi tutto nota che per tre punti non allineati nello spazio passa una e una sola circonferenza e questa circonferenza giace su di un piano.
Ad occhio, il luogo dei centri di tutte le sfere passanti per questi tre punti è la retta perpendicolare a questo piano, passante per il centro della circonferenza da essi determinata.
La sfera di raggio minimo in tal caso sarebbe quella che ha per centro il centro della circonferenza determinata dai tre punti.
Ti quadra?

Carina questa! Non lo so però se è vera. A intuito mi pare giusto, però.

[ale.b]

Bhè... Che ogni punto di quella retta sia centro di una circonferenza passante per i tre punti dati si vede immediatamente (è equidistante dai tre punti)!
Resta da dimostrare che ogni punto dello spazio non appartenente alla retta non è equidistante da questi tre punti, ma non dovrebbe essere tosto!

[syxvicious]

Scusate se ci ho messo tanto a rispondere, ma avevo letto i vostri interventi dal cellulare.
Il ragionamento geometrico mi torna (ma io non faccio testo). Sinceramente la via algebrica mi ha semplificato la vita (e i conti!).
Grazie a tutti, gentilissimi come sempre!