prodotto dei divisori

[ficus2002]

Provare che, per ogni intero positivo $n$, è
$prod_{t|n}t=n^{{d(n)}/2}$

dove $d(n)$ indica il numero dei divisori positivi di $n$.

[Valerio Capraro]

Premetto un paio di osservazioni:
Sia p un divisore primo di n e supponiamo che esso appaia nella sua fattorizzazione con esponente s, allora:

1)$sd(n/p^s)$ = $d(n/p)$

2)$d(n)=d(n/p)+d(n/p^s)$

la dimostrazione di queste due proprietà è più facile pensarla che scriverla...

Vengo ora all'esercizio: andiamo per induzione forte sul numero dei divisori di n. Allora se essi sono 2 (n primo) la tesi è vera. Supponiamo ora che n abbia $m>2$ divisori e sia p un suo primo che appare nella sua fattorizzazione con esponente s, allora:

$prod_{t|n}t$ = $prod_{t|n/p}t prod_{t|n/p^s}p^st$ = utilizzando l'ipotesi induttiva

$(n/p)^{{d(n/p)}/2}p^{sd(n/p^s)}(n/p^s)^{{d(n/p^s)}/2}$

Utilizzando le proprietà 1 e 2 si ottiene la tesi (ti prgo non farmi scrivere tutti i passaggi!!)

ciao, ubermensch

[ficus2002]

La tua soluzione è corretta! Secondo me, però, è più facile se si osserva che $d(p^s)=s+1$ con $p$ primo e $d(p^sm)=(s+1)d(m)$ per ogni $m$ primo con $p$ e si induce sul numero dei fattori primi della fattorizzazione di $n$.

[ficus2002]

Altro problema sui divisori di un intero:
Provare che
$sum_{t|n} d(n)^3 = (sum_{t|n} d(n))^2$