da Valerio Capraro » 26/03/2006, 23:25
Premetto un paio di osservazioni:
Sia p un divisore primo di n e supponiamo che esso appaia nella sua fattorizzazione con esponente s, allora:
1)$sd(n/p^s)$ = $d(n/p)$
2)$d(n)=d(n/p)+d(n/p^s)$
la dimostrazione di queste due proprietà è più facile pensarla che scriverla...
Vengo ora all'esercizio: andiamo per induzione forte sul numero dei divisori di n. Allora se essi sono 2 (n primo) la tesi è vera. Supponiamo ora che n abbia $m>2$ divisori e sia p un suo primo che appare nella sua fattorizzazione con esponente s, allora:
$prod_{t|n}t$ = $prod_{t|n/p}t prod_{t|n/p^s}p^st$ = utilizzando l'ipotesi induttiva
$(n/p)^{{d(n/p)}/2}p^{sd(n/p^s)}(n/p^s)^{{d(n/p^s)}/2}$
Utilizzando le proprietà 1 e 2 si ottiene la tesi (ti prgo non farmi scrivere tutti i passaggi!!)
ciao, ubermensch