Equazione goniometrica

[msc85]

Salve.
Vorrei aiuto per la semplificazione di questa equazione goniometrica.
Facendola in due modi diversi mi da due risultati differenti, per cui è chiaro che c'è un errore che al momento non vedo.
L'equazione in questione è la seguente:
$ 1+tan x=(1-sin x)/(cos x)^2 $
Scrivendo la tangente come rapporto di seno e coseno e facendo il minimo comune multiplo al denominatore ottengo:
$ ((cos x)^2+sin xcos x)/(cos x)^2=(1-sin x)/(cos x)^2 $
da cui $ (cos x)^2+sin xcos x+sin x-1=0 $ e considerando la prima relazione fondamentale:
$ -(sin x)^2+sin x+cos xsin x=0 $
Per il resto tutto ok, riesco a risolverla.
Il problema è quello che succede se semplifico in quest'altro modo partendo dall'inizio:
$ 1+tan x=(1-sin x)/(cos x)^2 $
Osservo che il coseno al quadrato dalla prima relazione fondamentale è uguale a 1 meno il seno al quadrato.
$ 1+sin x/cos x=(1-sin x)/(1-(sin x)^2) $
Ma $ (1-(sin x)^2)=(1-sin x)(1+sin x) $
e allora numeratore e denominatore si semplificano e ottengo:
$ 1+sin x/cos x=1/(sin x+1) $
Facciamo ora il m.c.m e otteniamo:
$ (cos x+sin x)/cos x-1/(1+sin x)=0 $
$ (cos x+sin xcos x+sin x+(sin x)^2-cos x)/(cos x(1+sin x))=0 $
e allora considerando il numeratore che deve essere 0 ottengo
$ (sin x)^2+sin x+cos xsin x=0 $
che differisce da quella trovata in precedenza per il segno positivo del seno al quadrato.
Come lo spiegate? Ammesso naturalmente di aver fatto tutti i controlli e le discussioni sugli eventuali zeri al denominatore e a patto di aver escluso tali valori, perché mi da questa differenza? Dove è l'errore che al momento non riesco a trovare?
Grazie mille

[chiaraotta]

Non mi sembra che ci siano errori; in tutti e due i modi si ottengono le stesse soluzioni: quelle che corrispondono a $sinx=0$ e quindi $x=kpi$.

[msc85]

Si ok, se metto in evidenza il seno ottengo le soluzioni che dici tu per sinx=0, ma poi ti rimane anche un'equazione lineare in seno e coseno e quella da soluzioni diverse. Quindi non può essere, c'è per forza qualcosa che non torna! Giusto?

[chiaraotta]

Si ok, se metto in evidenza il seno ottengo le soluzioni che dici tu per sinx=0, ma poi ti rimane anche un'equazione lineare in seno e coseno e quella da soluzioni diverse. Quindi non può essere, c'è per forza qualcosa che non torna! Giusto?

No. Le uniche soluzioni sono $x=kpi$. In tutti e due i casi le soluzioni corrispondenti alle equazioni lineari in seno e coseno non sono accettabili, perché sono degli zeri del denominatore.

[gio73]

BRAVISSIMA CHIARAOTTA

[msc85]

Ma certooooooooooo ecco cosa non consideravo è vero, devo escluderlo per via del denominatore..meno male che ho anche fatto la discussione..il problema è che il libro oltre che che $ x=kpi $ dava anche per soluzione $ x=pi/2+kpi $ quindi io avendola trovata in una delle due ho dato per scontato fosse giusta e trovando la soluzione opposta nell'altro caso non mi spiegavo il perché visto che entrambi i calcoli erano corretti. Grazie mille per l'aiuto!!

[chiaraotta]

Nell'equazione di partenza compare $tan x$, che non è definita per $x=pi/2+kpi$. Quindi non ci possono essere quelle soluzioni.