La regola di Leibniz per distribuzioni: un inghippo

[dissonance]

Ecco un piccolo caveat su cui oggi mi sono bloccato per un'ora buona (!). Prendiamo due funzioni \(\phi,\psi\in C^1(\mathbb{R})\): allora sappiamo che

\[\frac{d(\phi \psi)}{dx}=\frac{d\phi}{dx}\psi+\phi\frac{d\psi}{dx}.\]

Ora se \(\phi\in C^{\infty}(\mathbb{R})\) e \(T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})\) è ben definito il prodotto \(\phi T\): ebbene, per esso la formula precedente parrebbe non valere.

Ad esempio è corretto

\[\frac{d(\phi \delta)}{dx}=\frac{d(\phi(0)\delta)}{dx}=\phi(0)\delta', \]

e non

\[\frac{d(\phi \delta)}{dx}=\phi'(0)\delta+\phi(0)\delta', \]

come mi sarei aspettato applicando alla cieca la regola di Leibniz. Mah.

Lo segnalo così magari si evita di perderci tempo, e poi se a qualcuno va lo possiamo commentare insieme. In effetti mi sembra proprio strano non avere mai trovato alcun segnale di questo inghippo su nessun libro o risorsa Internet. Possibilissimamente sono io che sto sbagliando qualcosa e la regola vale anche per prodotti \(\phi T\), come sarebbe naturale aspettarsi.

[gugo82]

Certo dissonance... Questo è un fatto strano, ma accade proprio così.

Per dimostrarlo, fissiamo \(u\in C^\infty\) e consideriamo la distribuzione \(u\ \delta\), la quale per definizione agisce come segue:
\[
\forall \psi \in C_c^\infty,\quad \langle \psi , u\ \delta \rangle := \langle \psi\ u, \delta \rangle\; .
\]
Allora, scelto un test \(\phi \in C_c^\infty\), si ha:
\[
\langle \phi^\prime , u\ \delta\rangle = \phi^\prime (0)\ u(0) = -\langle \phi, u(0)\ \delta^\prime \rangle
\]
(perché \(\delta^\prime\) agisce come \(\langle \psi , \delta^\prime\rangle = -\langle \psi^\prime ,\delta \rangle\) per definizione) e d'altra parte, sempre per definizione, si ha:
\[
\langle \phi , (u\ \delta)^\prime\rangle = - \langle \phi^\prime ,u\ \delta \rangle
\]
quindi:
\[
(u\ \delta)^\prime = u(0)\ \delta^\prime\; .
\]

Ad incasinare ancora di più le cose ci si mette un'altra identità.
Consideriamo la distribuzione \(u\ \delta^\prime\) (che è sempre ben definita), e per ogni fissato test \(\phi\) otteniamo:
\[
\begin{split}
\langle \phi, u\ \delta^\prime\rangle &= \langle \phi\ u,\ \delta^\prime\rangle \\
&= -\langle (\phi\ u)^\prime ,\delta \rangle \\
&= -\phi^\prime (0)\ u(0) - \phi(0)\ u^\prime (0) \\
&= -\langle \phi^\prime , u(0)\ \delta \rangle + \langle \phi , -u^\prime (0)\ \delta \rangle\\
&= \langle \phi , u(0)\ \delta^\prime -u^\prime (0)\ \delta \rangle
\end{split}
\]
quindi:
\[
u\ \delta^\prime = u(0)\ \delta^\prime -u^\prime (0)\ \delta\; ,
\]
e questa non sapendola non saresti mai nemmeno arrivato a pensarla (perché mai, infatti, il prodotto \(u\ \delta^\prime\) dovrebbe contenere anche l'impulso di partenza?).

[dissonance]

e questa non sapendola non saresti mai nemmeno arrivato a pensarla (perché mai, infatti, il prodotto \(u\ \delta^\prime\) dovrebbe contenere anche l'impulso di partenza?).

Esatto Gugo, ci hai preso al 100% !!! Infatti avevo pensato esattamente questa frase, ecco perché non mi quadravano più i conti con la regola di Leibniz. Che, quindi, è vera:

\[(u\delta)'=u(0)\delta'=u(0)\delta'+u'(0)\delta-u'(0)\delta=u'\delta+u\delta'.\]

Grazie, grazie, grazie!!!

[gugo82]

Stavo per aggiungerlo, ma mi hai preceduto.

Sì, in effetti, la morale della favola non è che la regola di derivazione del prodotto non sia vera, anzi... Il problema è che le distribuzioni prodotto sono definite in modo che succedono cose strane quando interagiscono con le derivate.

[Fioravante Patrone]

Beh, la derivata distribuzionale gode di tutte le proprietà usuali della derivata di Analisi I... Quindi, ad esempio, è lineare
...

(la piccola enfasi sulla parola "tutte" è mia)

NB: questo post è del 14/03/2012, ore 19:31. Insomma, poche ore fa

[Fioravante Patrone]

Quanto al problema sollevato da dissonance, e alle "stranezze" segnalate, immagino che non glielo debba dire, ma occorre tenere presente che l'operazione di derivazione di una distribuzione ha carattere globale.

Vedi ad es pag. 7 di queste brevi note: http://people.ciram.unibo.it/~barozzi/M ... mmenti.pdf

[gugo82]

Beh, la derivata distribuzionale gode di tutte le proprietà usuali della derivata di Analisi I... Quindi, ad esempio, è lineare
...

(la piccola enfasi sulla parola "tutte" è mia)

NB: questo post è del 14/03/2012, ore 19:31. Insomma, poche ore fa

Ma per l'appunto:

Sì, in effetti, la morale della favola non è che la regola di derivazione del prodotto non sia vera, anzi... Il problema è che le distribuzioni prodotto sono definite in modo che succedono cose strane quando interagiscono con le derivate.

P.S.: Carine le considerazioni del Barozzi; anche il suo libro di Metodi non è male. Gli ingegneri dovrebbero studiare da lì, ma poi non lo fanno (purtroppo, prediligono un altro testo che -seppure indicato da molti- trovo pessimo).

[dissonance]

P.S.: Carine le considerazioni del Barozzi; anche il suo libro di Metodi non è male.

Anche a me sono piaciute. Belli anche i disegni. Ma perché scrivere " àmbito " con l'accento? Dal contesto è chiaro che non può essere " ambìto "... "in ambìto distribuzionale", non ha senso.

Gli ingegneri dovrebbero studiare da lì, ma poi non lo fanno (purtroppo, prediligono un altro testo che -seppure indicato da molti- trovo pessimo).

Parli di Analisi 3 di Gilardi? Ci ho sbattuto parecchio la testa su, ricavandone una grande confusione mentale. Ho dovuto poi obbligarmi a chiuderlo e metterlo via. Quel libro dice tante belle cose, ma confonde sistematicamente il piano formale e quello discorsivo, lasciando con una grossa sensazione di "non ci ho capito niente".

[gugo82]

P.S.: Carine le considerazioni del Barozzi; anche il suo libro di Metodi non è male.

Anche a me sono piaciute. Belli anche i disegni. Ma perché scrivere " àmbito " con l'accento? Dal contesto è chiaro che non può essere " ambìto "... "in ambìto distribuzionale", non ha senso.

Pura pedanteria, immagino...

Gli ingegneri dovrebbero studiare da lì, ma poi non lo fanno (purtroppo, prediligono un altro testo che -seppure indicato da molti- trovo pessimo).

Parli di Analisi 3 di Gilardi? Ci ho sbattuto parecchio la testa su, ricavandone una grande confusione mentale. Ho dovuto poi obbligarmi a chiuderlo e metterlo via. Quel libro dice tante belle cose, ma confonde sistematicamente il piano formale e quello discorsivo, lasciando con una grossa sensazione di "non ci ho capito niente".

Eh, Gilardi... Quello lo butterebbero fuori dalla finestra dopo averlo guardato neanche trenta secondi!
Il libro di Gilardi è indubbiamente troppo difficile per gli ingegneri (oltre che stampato in un formato brutterrimo che ne rende difficile la lettura).

Nono, purtroppo usano il Codegone-Calanchi.