Appartenenza di un punto al piano

[Valund]

Stabilire quale dei seguenti punti appartiene al piano simmetrico del piano di equazione $\ 3x -y +2z=2 $, rispetto al piano di equazione $\ 2x-y+z=2.$
I punti possibili sono:
$\ A (frac {1}{3}, -11/3, -10/3)$
$\ B (frac {2}{3}, -1/3, -14/3)$
$\ C (frac {7}{3}, 7/3, 5/3)$
$\ D (0, -4, -8)$

Qualcuno mi può spiegare come risolverlo?

[piero_]

Io scriverei il fascio di piani generato dai due piani dati.
Sul primo prendi un punto a piacere ($P_1$), fai la proiezione sul secondo ($P_2$) e poi trovi il simmetrico rispetto a questo punto ($P_3$). Sostituisci questo punto nel fascio e trovi il parametro $k$. Adesso, avendo il piano simmetrico al dato, puoi verificare quale punto appartiene ad esso.

Non escludo che ci sia un altro metodo più acuto, ma questo è quello che ricordo (dopo 30 anni dall'esame di geometria).

[Valund]

Ti ringrazio per il suggerimento ma in realtà avrei preferito che qualcuno lo svolgesse per vedere esattamente cosa fare, la materia la sto preparando di fretta e quindi mi servo di esercizi svolti

[vittorino70]

Il suggerimento di Piero sul fascio è giusto,però io continuerei in maniera diversa. Indichiamo con a,b ( nell'ordine) i due piani dati e con c il piano da trovare . Allora l'equazione di c è :

(1) \(\displaystyle c : (3m+2n)x-(m+n)y+(2m+n)z=2m+2n \)
con m,n parametri da determinare.
Adesso calcoliamo il coseno dell'angolo \(\displaystyle \alpha \) tra le normali al piano a e al piano b :

\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{6+1+2}{\sqrt{9+1+4}\cdot \sqrt{4+1+1}} =\frac{9}{\sqrt {14 }\cdot \sqrt 6}\)

Analogamente calcoliamo il coseno dell'angolo \(\displaystyle \alpha ' \) tra le normali al piano b e al piano c :

\(\displaystyle \cos\alpha'=\frac{6m+4n+m+n+2m+n}{\sqrt{4+1+1}\cdot\sqrt {(3m+2n)^2+(m+n)^2+(2m+n)^2}} =\frac{9m+6n}{\sqrt {6 }\cdot \sqrt {14m^2+18mn+6n^2}}\)

Per la simmetria di a e c rispetto al piano b ,questi due coseni devono essere uguali :

\(\displaystyle \frac{9m+6n}{\sqrt {6 }\cdot \sqrt {14m^2+18mn+6n^2}}= \frac{9}{\sqrt {14 }\cdot \sqrt 6}\)

Da qui con un po' di calcoli trovi :

\(\displaystyle n_1=0,n_2=-3m \)
Sostituendo questi valori nella (1) ottieni come piano c proprio il piano a ( che è una soluzione banale ) ed il piano di equazione:
\(\displaystyle 3x-2y+z=4 \)
che è la soluzione effettiva.
Adesso devi solo sostituire le coordinate dei punti A,B,C,D in quest'ultima equazione e vedere per quali di essi è soddisfatta. Se non ho sbagliato conto la cosa dovrebbe essere verificata solo per il punto C.

[piero_]

Ti ringrazio per il suggerimento ma in realtà avrei preferito che qualcuno lo svolgesse per vedere esattamente cosa fare, la materia la sto preparando di fretta e quindi mi servo di esercizi svolti

Considera la soluzione di questo esercizio come una sorta di "benvenuto nel forum", ma non ti ci abituare, il regolamento parla chiaro.
Estratto dal regolamento

1.2 Matematicamente.it forum non è un servizio di consulenza per lo svolgimento di esercizi e problemi.
[...]
1.4 Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.

[piero_]

Se non ho sbagliato conto la cosa dovrebbe essere verificata solo per il punto C.

concordo.

[Valund]

Si è perfetto . Ho rifatto tutti i conti e viene esattamente come hai scritto tu. Tra l'altro la spiegazione dettagliata mi ha aiutata a capire cosa stavo combinando. Grazie mille!!!
E grazie ancora anche a Piero. Non appeno avrò i mezzi necessari lo svolgerò nuovamente seguendo la tua spiegazione. Entrambi gentilissimi.