Considera il triangolo equilatero \(\displaystyle ABC \) e la circonferenza a esso circoscritta di raggio \(\displaystyle r \). Sull'arco \(\displaystyle AB \) che non contiene \(\displaystyle C \) prendi il punto \(\displaystyle P \). Calcola \(\displaystyle \widehat{ABP} \) in modo che l'area del quadrilatero \(\displaystyle APBC \) sia \(\displaystyle \frac{4}{3} \) dell'area del triangolo equilatero.
La prima fase, cioè trovare l'area del triangolo equilatero, è liscia come l'olio.
Dal teorema delle corde ricavo che, ad esempio, \(\displaystyle \overline{AB} = 2r * sin(\widehat{ACB}) = 2r*\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}r\)
Con il teorema di Pitagora ricavo l'altezza del triangolo equilatero, cioè \(\displaystyle h = \frac{3}{2}r \)
Trovo quindi l'area del triangolo equilatero, \(\displaystyle A_{ABC} = \frac{3\sqrt{3}}{4}r^2\)
Da questa, e dal dato del problema, posso ricavare \(\displaystyle A_{APB} = \frac{1}{3}A_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 \)
Chiamando \(\displaystyle PH \) l'altezza del triangolo \(\displaystyle APB \) relativa alla base \(\displaystyle AB \), ricavo che \(\displaystyle PH = \frac{r}{2} \).
Così, "ad occhio", mi pare di aver capito che \(\displaystyle P \) deve essere diametralmente opposto a \(\displaystyle C \), ma è possibile dimostrarlo?
Lo dovrei capire dal fatto che la somma delle altezze dei due triangoli è proprio \(\displaystyle 2r \)?
Questa è la situazione "a priori", cioè senza aver svolto alcun calcolo.