equazione goniometrica parametrica

[chess71]

Determinare quando l'equazione :
$(1-k)cosx-senx+2=0$ con $x in [0,pi/4]$ ammette due soluzioni

ponendo $X=cosx$ e $Y=senx$ ottengo:
${((1-k)X-Y+2=0),(X^2+Y^2=1), (X in [sqrt(2)/2,1]), (Y in [0,sqrt(2)/2])}$

quindi abbiamo un fascio di rette di centro $(-1,1)$ che interseca la circonferenza goniometrica
sarà il caldo, ma adesso mi sono perso
qualcuno mi aiuta a chiudere?

Moderatore: Seneca

Sposto la discussione in Secondaria II grado.

[Raptorista]

Così a colpo d'occhio prenderei il fascio di rette isolando \((1 - k) X\) e poi elevando al quadrato. A questo punto prendi \(X^2\) dall'altra e vedi cosa succede.

[chess71]

risolvendo il sistema e imponendo delta>=0, ottengo:

$K<1-sqrt(3)$ e $K>1+sqrt(3)$

come relazionare i valori trovati con le limitazioni sul settore circolare?

[Raptorista]

Perché metti \(\Delta = 0\)?
Non è quella la condizione che ti è chiesta.

P.s. Grazie per lo spostamento, Seneca

[chess71]

c'è scritto maggiore o uguale

[Raptorista]

Sorry, my fault! [Certo, usare i compilatori di formule non farebbe male, dopo 178 messaggi..]

Tornando a noi, adesso devi chiederti: "Quelli sono i \(K\) ammissibili. Se ne scelgo uno tra questi buoni, ottengo una certa \(x\) come soluzione del mio sistema di partenza. Questa \(x\) mi va bene o no?"

[chiaraotta]

Mi sembra che il problema si riconduca a quello delle intersezioni di una retta del fascio di equazione $(1-k)X-Y+2=0$ (di centro $(0, 2)$) con l'arco $AB$ della circonferenza di centro $O$ e raggio $1$.



Le rette del fascio significative sono:
1) $CA$, di equazione $Y=-2X+2$, con $k=3$;
2) $CB$, di equazione $Y=-(2sqrt(2)-1)X+2$, con $k=2sqrt(2)$;
3) $CD$, di equazione $Y=-sqrt(3)X+2$, con $k=1+sqrt(3)$, che è la tangente.

Le rette tra la $CA$ e la $CB$ intersecano l'arco $AB$ una volta, quelle tra la $CB$ e la $CD$ due.
Quindi ci sono due soluzioni dell'equazione di partenza per $1+sqrt(3)<=k<=2sqrt(2)$.

[Raptorista]

Grazie chiaraotta, ti assicuro che non ci avevo proprio pensato!

https://www.youtube.com/watch?v=4fJSxbVSKLw

[chess71]

Grazie, avevo calcolato male il centro del fascio e non sapevo piu' interpretare i risultati analitici acquisiti
e comunque grazie a Chiaraotta perchè il disegno chiarisce piu' di tante parole (quello che avevo fatto era troppo piccolo, avrei sbagliato ugualmente)
grazie a tutti