Problema di trigonometria

[neopeppe89]

Salve a tutti. Vi scrivo il problema:

Dato un triangolo di vertici $A$, $B$, $C$ sappiamo che la lunghezza di $\overline{AB}$ è $2a$. Nominati l'angolo in $A$: $\alpha$ e quello in $B$: $\beta$. Sappiamo che la tangente in $\alpha$ è 2 e quella in $\beta$ è $\frac{1}{2}$.
1) Dimostrare che il triangolo è rettangolo in $C$
2) Considerare la circonferenza circoscritta al triangolo. Siano $P$ un punto sull'arco tra $C$ e $B$, $M$ la proiezione di $P$ su $\overline{BC}$ e $N$ la proiezione di $P$ sul prolungamento del lato $\overline{AC}$. Studiare i $k\in\mathbb{R}_+$ per cui $\overline{PM}+\overline{PN}=k \overline{BC}$.

Il primo punto l'ho risolto usando la formula per la tangente della somma. Il secondo punto, invece. Potreste anche solo darmi uno spunto di riflessione? Grazie.

[chiaraotta]

Se poni $ChatAP=x$, con $0<=x<=alpha$, allora
$bar(PN)=bar(AP)*sinx$,
$bar(PM)=bar(NC)=bar(AN)-bar(AC)=bar(AP)cosx-bar(AC)$,
$bar(AP)=bar(AB)cos(alpha-x)=2acos(alpha-x)$,
$bar(AC)=2acos alpha$,
$bar(BC)=2asin alpha$,
$sin alpha = (tan alpha)/sqrt(1+tan^2 alpha)=2/sqrt(5)=2/5sqrt(5)$,
$cos alpha =sqrt(1-sin^2 alpha)=sqrt(1-4/5)=sqrt(1/5)=sqrt(5)/5$.

[neopeppe89]

Grazie mille