Dimostrare che se G è un gruppo privo di torsione (ogni elemento ha periodo infnito) tale che il suo gruppo degli automorfismi $Aut(G)$ è finito, allora G è abeliano.
Non so se si fa con strumenti elementari...
3 messaggi
• Pagina 1 di 1
Algebrona
da Valerio Capraro » 06/05/2006, 15:54
- Valerio Capraro
- Advanced Member
- Messaggio: 1196 di 2911
- Iscritto il: 03/02/2004, 23:58
- Località: Southampton (UK)
- Valerio Capraro
- Advanced Member
- Messaggio: 1206 di 2911
- Iscritto il: 03/02/2004, 23:58
- Località: Southampton (UK)
da Valerio Capraro » 07/05/2006, 18:29
L'"esercizio" si banalizza alla luce del seguente:
teorema di Schur
Sia $G$ tale che l'indice del suo centro $Z(G)$ è finito, allora è finito anche il derivato.
Nel nostro caso, non avendosi sottogruppi finiti, basterà mostrare che il derivato è finito, e quindi è identico, e quindi G è abeliano. La tesi deriva allora dal fatto che $\infty>|Aut(G)|\leq|Int(G)|=|G/(Z(G))|$
teorema di Schur
Sia $G$ tale che l'indice del suo centro $Z(G)$ è finito, allora è finito anche il derivato.
Nel nostro caso, non avendosi sottogruppi finiti, basterà mostrare che il derivato è finito, e quindi è identico, e quindi G è abeliano. La tesi deriva allora dal fatto che $\infty>|Aut(G)|\leq|Int(G)|=|G/(Z(G))|$
- Valerio Capraro
- Advanced Member
- Messaggio: 1208 di 2911
- Iscritto il: 03/02/2004, 23:58
- Località: Southampton (UK)
3 messaggi
• Pagina 1 di 1
Torna a Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Chi c’è in linea
Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite