Problemi di Trigonometria

[kika_17]

Ciao =) non è che qualcuno per favore può risolverli ??? Grazie mille =)

1) Nel triangolo (qualsiasi) ABC la bisettrice CD misura 8 e forma con la base AB un angolo D=pigreco/3.
Sapendo che AC + CB = 24, quanto misura l'angolo C?

io ho posto metà dell'angolo C = x e ho usato il teorema del seno per ricavare AC e CB, ho ottenuto un'equazione di secondo grado, ma il risultato è diverso da quello del libro ...

2) In un parallelogrammo ABCD, gli angoli hanno il seno = 3/5 e le distanze dei lati dal suo centro O misurano OM = 5 e OP = 8. Calcolare l'area, la diagonale maggiore e la diagonale minore.

GRAZIE =)

[chiaraotta]

Per favore, per il primo problema, puoi postare l'equazione che hai ottenuto e il risultato del libro?

[kika_17]

Allora, per prima cosa ho trovato gli angoli alfa e beta (che corrispondono agli angoli A e B, che sono quelli adiacenti alla base):

alfa = pigreco - pi/3 -x = 2pi/3 -x

beta = pigreco - 2pi/3 -x = pi/3 -x

poi ho usato il teorema dei seni:

AC/sen(2pi/3) = CD/sen(alfa)

CB/sen(pi/3) = CD/sen(beta)

sapendo che AC + CB = 24 ho ricavato AC e CB nelle precedenti equazioni e le ho inserite ... al denominatore ho usato la proprietà della differenza e poi ho fatto il minimo comune multiplo tra le frazioni sommate che avevo, alla fine mi risulta:

4cos^2(x) - 2cosx -1 = 0 cioè x = pigreco/5 (il risultato del libro) ma io avevo posto x = metà angolo C quindi in teoria il risultato è 2pi/5 ...

[chiaraotta]

Trovo anch'io gli stessi tuoi risultati del primo problema:
posto $x=AhatCD=DhatCB$, trovo $4cos^2x-2cosx-1=0$ con $0<=x<pi/2$.
E quindi $x=pi/5$.

Per il secondo problema hai qualche idea?

[kika_17]

avrà sbagliato il libro .. =) Grazie

per il secondo problema hai qualche idea? perché io non riesco a trovare la base, e senza quella non ottengo né l'area né le diagonali ..

[chiaraotta]

Se dai un'occhiata alla figura, vedi che, indicato con $alpha$ l'angolo $BhatAD$, puoi calcolare facilmente i lati dai dati che hai.



Infatti
$AD*sin(alpha)=DE=MN=2OM$
e
$AB*sin(alpha)=BF= QP=2OP$.
Da cui
$AD=2(OM)/sin(alpha)=2*5/(3/5)=50/3$
e
$AB=2(OP)/sin(alpha)=2*8/(3/5)=80/3$.

Trovati i lati è fatta ...
Riesci a completare?

[kika_17]

ok ... GRAZIE =) quindi se due angoli hanno il seno = 3/5 vuol dire che alfa = pigreco/5 mentre gli altri due angoli (beta) sono 4pigreco/5 ... ??? devo usare il teorema dei coseni dopo? conoscendo AB, AD e alfa?

[chiaraotta]

Hai una coppia di angoli $alpha$ e un'altra coppia $pi-alpha$. In realtà non hai bisogno di sapere quanto misurino realmente quegli angoli, che comunque non sono notevoli.

L'area è $S=AB*DE=AB*MN=AB*2*OM$.

Puoi trovare la diagonale $DB$ come ipotenusa del triangolo rettangolo $DEB$. Il cateto $DE$ è noto ($=2*OM$), mentre il cateto $EB=AB-AE$ dove $AE$ lo puoi trovare dal triangolo rettangolo $ADE$, di cui conosci l'ipotenusa $AD$ e il cateto $DE$.

Per l'altra diagonale, $AC$, ragiona in maniera simile sul triangolo $ACG$.

[kika_17]

ok, va bene ... ho capito ... GRAZIE MILLE =)