dominio semplice

[gbspeedy]

il dominio D=${(x,y)inR^2 : x^2+y^2<=1, x+y>1/2}$ è semplice?

[Lorin]

Secondo te?

[gio73]

Ciao a entrambi e scusate l'ignoranza, ma dominio semplice è sinonimo di semplicemente connesso o significa un'altra cosa?

[Lorin]

Io per dominio semplice ho sempre indicato un dominio per il quale era possibile delimitare la regione con intervalli o grafici di funzione. Spesso molto lo chiamano anche dominio normale (rispetto ad un'asse in particolare o rispetto ad entrambi)

[gio73]

Grazie della risposta lorin, dopo che gbspeedy si è espresso vorrei provare a dire anche la mia; ti ringrazio se vorrai controllare.

[Lorin]

Dai che mi fai arrossire

[gbspeedy]

è la parte di piano compresa tra la circonferenza di raggio unitario e la retta $y=1/2-x$
quindi è semplice ma è normale rispetto agli assi?

[gugo82]

@gio73: Effettivamente, questa denominazione "dominio semplice" non l'ho mai sentita nemmeno io, se non qui sul forum da un numero sparuto di utenti; quindi suppongo non sia un nome diffuso e comune, ma usato solamente da qualche docente (e da qualche testo di Analisi).

Quello che Lorin definisce come "dominio semplice" è quello che io ho sempre chiamato "dominio normale nel piano", i.e. un dominio* \(\Omega \subset \mathbb{R}^2\) che può essere rappresentato nella forma:
\[
\Omega =\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x\in X,\ y\in ]\alpha (x),\beta (x)[\}
\]
con \(X\subseteq \mathbb{R}\) è aperto ed \(\alpha ,\beta :X\to \mathbb{R}\) tali che \(\alpha (x)\leq \beta (x)\) (in questo caso si dice "normale rispetto all'asse \((x)\)"), oppure nella forma:
\[
\Omega =\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ y\in Y,\ x\in ]\gamma (y),\delta (y)[\}
\]
con \(Y\subseteq \mathbb{R}\) è aperto ed \(\gamma ,\delta :Y\to \mathbb{R}\) tali che \(\gamma (y)\leq \delta (y)\) (in questo caso si dice "normale rispetto all'asse \((y)\)").

Geometricamente, questi domini sono caratterizzati dalla seguente proprietà geometrica:

Il dominio \(\Omega\) è normale rispetto all'asse \((x)\) [risp. \((y)\)] se e solo se ogni retta normale all'asse \((x)\) [risp. \((y)\)] o interseca \(\Omega\) in un segmento aperto oppure non interseca \(\Omega\).

__________
* Ricordo che un dominio di \(\mathbb{R}^2\) è un insieme aperto e connesso.

[gio73]

Grazie della risposta Gugo.
@gbspeedy

il dominio D=${(x,y)inR^2 : x^2+y^2<=1, x+y>1/2}$ è semplice?

Ho fatto il tuo stesso disegno, in effetti mi viene un segmento circolare a una base con la corda non compresa nella regione, mentre l'arco sì (una parte del bordo è contenuta nella regione). Confermi?

[gbspeedy]

si