Molto poco intuitivo e relativamente semplice(2)

[Valerio Capraro]

Sia $G$ un gruppo e $x,y$ due elemti di $G$ di periodo finito. Trovare un esempio in cui $xy$ ha periodo infinito.

[Valerio Capraro]

questo è facile però!!!

Non ho il latex qui, quindi dovrò mettere le matrici in forma un pò bruta nella forma $(a_{1,1},a_{1,2},a_{2,1},a_{2,2})$

Consideriamo $GL(2,Z)$ il gruppo delle matrici invertibili $2\times2$ a coefficienti in $Z$. Consideriamo le due matrici:

$(0,-1,1,0)$ e $(0,1,-1,-1)$, una semplice verifica mostra che il loro ordine è rispettivamente 4 e 3. Il loro prodotto è invece $(1,1,0,1)$ che ha ordine infinito in quanto $(1,1,0,1)^k=(1,k,0,1)$