giusi, ha scritto:Se la funzione è continua in a ed esiste il limite destro della derivata(finito o infinito), allora esiste la derivata destra, e coincide con quel limite. Un analogo enunciato vale per la derivata sinistra , e quindi per la derivata.
Allora per quanto riguarda la frase e coincide con quel limite. non ho capito proprio cosa vuol dire...
l'altra frase invece , e quindi per la derivata. vuol dire che un punto è derivabile se esiste il limite della derivata detstra, esiste il limite della derivata sinistra e i due limiti coincidono? (naturalmente la funzione nel punto è continua)
La prima frase è l'enunciato di un teorema, il seguente:
Siano \(I\) un intervallo, \(f:I\to \mathbb{R}\) ed \(x_0\in I\) un
punto di accumulazione a destra [risp.
a sinistra]
per \(I\) (nel senso che a destra [risp. a sinistra] di \(x_0\) cadono infiniti punti di \(I\) distinti da \(x_0\)).
Se:
- \(f\) è continua in \(x_0\),
- \(f\) è derivabile in un intorno destro [risp. sinistro] di \(x_0\) contenuto in \(I\) (ma non necessariamente in \(x_0\)),
- esiste finito il \(\displaystyle \lim_{x\to x_0^+} f^\prime (x)\) [risp. \(\displaystyle \lim_{x\to x_0^-} f^\prime (x)\)],
allora la funzione \(f\) è
dotata di derivata destra [risp.
sinistra]
in \(x_0\), cioè esiste finito il:
\[
f^\prime (x_0^+):=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \qquad \text{[risp. } f^\prime (x_0^-):= \lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \text{]}
\]
(che coincide per definizione con la derivata di \(f\) a destra [risp. a sinistra] di \(x_0\)); inoltre vale l'uguaglianza:
\[
f^\prime (x_0^+) = \lim_{x\to x_0^+} f^\prime (x) \qquad \text{[risp. } f^\prime (x_0^-) = \lim_{x\to x_0^-} f^\prime (x) \text{].}
\]
La dimostrazione di questo fatto è una banale applicazione del
teorema di Lagrange.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Dim.: Facciamo il caso della derivata destra.
Posto per comodità:
\[
L:= \lim_{x\to x_0^+} f^\prime (x)
\]
si deve far vedere che:
\[
\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =L \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\ \forall x\in ]x_0, x_0+\delta[ \subset I,\quad \left| \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} -L \right|<\varepsilon\; .
\]
Dato che \(f\) è derivabile in un intorno destro \(]x_0,x_0+d[\), comunque si scelga \(x\in ]x_0-x_0+d[\) esiste un punto \(\xi_x \in ]x_0,x[\) tale che:
\[
f(x)-f(x_0) =f^\prime (\xi)\ (x-x_0) \qquad \Rightarrow \qquad \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f^\prime (\xi)\; .
\]
Fissato \(\varepsilon >0\), dal fatto che \(\lim_{x\to x_0^+} f^\prime (x)=L\) segue che esiste un \(\sigma >0\) tale che:
\[
\forall x\in ]x_0,x_0+\sigma[ \subseteq I,\quad |f^\prime (x)-L|<\varepsilon\; ;
\]
perciò, prendendo \(\delta = \min \{d,\sigma\}\), si ha \(]x_0,x_0+\delta[= ]x_0,x_0+d[ \cap ]x_0,x_0+\sigma[\subset I\) e dunque per ogni \(x\in ]x_0,x_0+\delta[\) è:
\[
\xi_x \in ]x_0,x[ \subseteq ]x_0,x_0+\delta[ \subseteq ]x_0,x_0+\sigma[ \quad \Rightarrow \quad |f^\prime (\xi_x) -L|<\varepsilon\; .
\]
Ne viene:
\[
\forall x\in ]x_0,x_0+\delta[,\qquad \left| \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} -L \right| = |f^\prime (\xi_x) -L| < \varepsilon
\]
che è la tesi. \(\square\)
Dal teorema discende il seguente immediato corollario:
Siano \(I\) un intervallo, \(f:I\to \mathbb{R}\) ed \(x_0\) un punto di accumulazione per \(I\).
Se la funzione \(f\) è continua in \(x_0\), derivabile intorno a tale punto (ma non necessariamente in tale punto) ed esiste finito il \(\displaystyle \lim_{x\to x_0} f^\prime (x)\), allora \(f\) è derivabile in \(x_0\) e si ha:
\[
f^\prime (x_0) = \lim_{x\to x_0} f^\prime (x)\; .
\]
Questo corollario è una condizione sufficiente per la derivabilità in un punto, ma non è una condizione necessaria; in altre parole, esistono funzioni \(f\) derivabili in tutto un intervallo \(I\) la cui derivata non ammette limite in almeno un punto di accumulazione \(x_0\in I\).
Ad esempio la funzione:
\[
f(x):= \begin{cases} x^2\ \sin \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0\\ 0 &\text{, se } x=0\end{cases}
\]
è derivabile in tutti i punti di \(\mathbb{R}\); in particolare, si trova che:
\[
f^\prime (0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0} x\ \sin \frac{1}{x} =0
\]
quindi:
\[
f^\prime (x) := \begin{cases} 2x\ \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0\\ 0 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
Dalla definizione di \(f^\prime\) segue che nessuno due limiti:
\[
\lim_{x\to 0^+} f^\prime (x) \qquad \text{e} \qquad \lim_{x\to 0^-} f^\prime (x)
\]
esiste, pur essendo \(f\) derivabile in \(0\).
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
