Consideriamo il campo $Q$ dei razionali ed estendiamolo con $sqrt(2)$, otteniamo il campo $Q[sqrt(2)]={a+bsqrt(2),a,b\inQ}$. Ci chiediamo quanti sono gli automorfismi di $Q[sqrt(2)]$ che fissano $Q$. Essi sono $2$ e precisamente l'identità e quello che manda $a+bsqrt(2)$ in $a-bsqrt(2)$.
Osserviamo che l'estensione di $Q$ è stata fatta per mezzo di una radice di un polinomio di grado $2$, e precisamente $x^2-2$. Se ora estendiamo $Q$ con una radice di un polinomio irriducibile di grado $n$ si otterrà un campo i cui automorfismi che fissano $Q$ sono esattamente $n$ (la dimostrazione di questo fatto non è banalissima, ma credeteci)...
l'idea è quindi che man mano che aumento il "grado dell'estensione", aumentano anche gli automorfismi... Cosa succede allora se il grado dell'estensione diventa infinito? il buon senso direbbe che ci sono infiniti autorfismi che fissano $Q$...
Bene
mostrare che l'unico automorfismo di $R$ che fissa $Q$ è quello identico.