da kobeilprofeta » 03/04/2013, 08:44
Ciao e intanto benvenuto nel forum.
Tu gli devi dimostrare che a lungo andare ci perdi.
Iniziamo a vedere il problema sotto questo punto di vista: all'n-esima puntata io scommetto $2^(n-1)$€ sull'uscita del rosso (evento con probabilità pari ad $1/2$) e se esce il rosso il mio capitale aumenta dell'importo scommesso, viceversa diminuisce.
Teoricamente ad ogni vincita sono sicuro di recuperare tutte le perdite precedenti; infatti se vinco all n-esima giocata vinco $2^(n-1)$€ che è maggiore di $2^0+2^1+...+2^(n-2)$€... esempio se $n=5$, cioè quinta giocata, io vinco $2^4=16$€ che è maggiore di $1+2+4+8=15$€: inoltre nota bene che indipendentemente dal valore di $n$, io sono sicuro di guadagnare 1€ rispetto al capitale iniziale quando vimco (controlla pure tu se non ti fidi)...ma allora qual è il problema?
Il problema sta nel fatto che noi non possediamo infiniti soldi e che, di conseguenza, abbiamo un limite (alto quanto vuoi, ma il limite c'è).
Se hai il concetto di valore atteso puoi seguire questo esempio:
Considera un giocatore che possiede 31€ come capitale iniziale (è indicativo, puoi mettere anche 10^237€). Decide di partire da 1€ e di raddoppiare se perde fino a quando non vincerà: appena vince si tiene i soldi vinti. Come ti ho già detto, se vince guadagna 1€ rispetto al capitale totale (31+1=32€).
Quindi a fine del gioco (dopo $n=5$ giocate, perchè poi finisce i soldi) il giocatore avrà 32€ o 0€. Ovviamente avrà 0€ solo nel caso in cui perda tutte e 5 le giocate ($P_a=(1/2)^5$), mentre avrà 32€ con probabilità $P=1-P_a=1-(1/2)^5$. Se chiamo $X$ i soldi che ha il giocatore alla fine, posso calcolare il valore atteso di soldi:
$E(X)= (1/2)^5*0 + (1-(1/2)^5)*32)= 31€$
Ne consegue che l'attesa è di finire il tutto con gli stessi soldi che aveva in partenza, ovvio poi non è detto che sarà così: ma potrebbe guadagnarci come perderci.
Ps: anche se non conosci il valore atteso è facile: prendi i soldi che puoi vincere e li moltiplichi per la probabilità che hai di vincerli, poi li sommi con gli altri per la loro probabilità ecc...