integrazione di funzioni trigonometriche...

[domy90]

Ciao a tutti, devo risolvere un integrale con questo metodo, l'integrale è: $int(1+sinx)/(1-sinx)dx$ ho posto $t=tg (x/2)$ $rarr$ $dx=2/(1+t^2)dt$, $sinx= (2t)/(1+t^2)$ con alcuni passaggi arrivo a questa scrittura $2int (t+1)^2/((t-1)^2(1+t^2))dt$, però adesso non so come continuare, volevo applicare il principio d'identità dei polinomi ma non si trova...come posso fare???

[Gi8]

Ripartendo dall'inizio, $(1+sinx)/(1-sinx)= - (-1-sinx)/(1-sinx)= -(1-sinx-2)/(1-sinx) = -1 +2/(1-sinx)$

[domy90]

Mi esce $-x-4/(tg(x/2)-1)+C$ però sul libro dice che deve uscire: $-x+4/(cot(x/2)-1)+C$, se non capito male i risultati sono gli stessi, ho provato a scrivere la tangente come seno su coseno e poi a dare minimo comune multiplo e mi trovo:

$-x-(4cos(x/2))/(sin(x/2)-cos(x/2))+C$, e poi non so come continuare, mi sono rivisto tutte le formule parametriche ma non ci sono ancora riuscito, come faccio??? sul sito di wolfram dice che è esatta la mia scrittura :

$-x-(4cos(x/2))/(sin(x/2)-cos(x/2))+C$ anche se porta dentro il meno, però è irrilevante... quindi non penso sia un errore di calcolo... come posso fare?

[chiaraotta]

Guarda che le due funzioni differiscono per una costante:
$-x-4/(tg(x/2)-1)-(-x+4/(cot(x/2)-1))=$
$-x-4/(tg(x/2)-1)+x-4/(cot(x/2)-1)=$
$-4(1/(tg(x/2)-1)+1/(cot(x/2)-1))=-4(cot(x/2)-1+tg(x/2)-1)/((tg(x/2)-1)(cot(x/2)-1))=$
$-4(cot(x/2)+tg(x/2)-2)/(1-tg(x/2)-cot(x/2)+1)=+4(-cot(x/2)-tg(x/2)+2)/(-tg(x/2)-cot(x/2)+2)=4$.

[domy90]

Ciao ho un'altro integrale che non riesco a risolvere, l'integrale è:

$int 1/(1-sin(2x)) dx$ ho provato a risolverlo con la sostituzione $t=tg(x/2)$ e $sinx= 2t/(1+t^2)$ e il $dt=2/(1+t^2)$

però poi mi sono fermato perchè il mio seno è $sin (2x)$ e in questo caso non so proprio come fare, un conto se c'era la $x$ e un altro se c'è la $2x$ come faccio in questo caso?????

[onlyReferee]

Ciao ho un'altro integrale che non riesco a risolvere, l'integrale è:
$int 1/(1-sin(2x)) dx$ ho provato a risolverlo con la sostituzione $t=tg(x/2)$ e $sinx= 2t/(1+t^2)$ e il $dt=2/(1+t^2)$
però poi mi sono fermato perchè il mio seno è $sin (2x)$ e in questo caso non so proprio come fare, un conto se c'era la $x$ e un altro se c'è la $2x$ come faccio in questo caso?????

Anche se questa discussione è un po' datata posto comunque un suggerimento per calcolare l'integrale nel caso sia utile a qualcuno.
Allora, in questo caso si possono utilizzare ugualmente le formule parametriche, stando attenti però al fatto che bisogna porre $t = \tan(x)$ e non $t = \tan(\frac{x}{2})$. Di conseguenza anche il $dt$ va ricalcolato.

[giammaria]

Sì, quello è il metodo tradizionale. Ma ve ne do anche un altro molto rapido: si ha
$1-sin2x=1-cos(pi/2-2x)=2sin^2(pi/4-x)=2sin^2(x-pi/4)$
e quindi l'integrale è
$"Integrale"=1/2int(dx)/(sin^2(x-pi/4))=-1/2ctg(x-pi/4)+c$
Volendo, si possono poi usare le formule di somma per quella cotangente ed ottenere quello che probabilmente è il risultato scritto sul libro, ma non è necessario.

[salfor76]

Ciao a tutti, devo risolvere un integrale con questo metodo, l'integrale è: $int(1+sinx)/(1-sinx)dx$ ho posto $t=tg (x/2)$ $rarr$ $dx=2/(1+t^2)dt$, $sinx= (2t)/(1+t^2)$ con alcuni passaggi arrivo a questa scrittura $2int (t+1)^2/((t-1)^2(1+t^2))dt$, però adesso non so come continuare, volevo applicare il principio d'identità dei polinomi ma non si trova...come posso fare???

puoi spiegare meglio perchè poni $t=tg(x/2)$ e come arrivi a $dx=2/(1+t^2)dt$ e $sinx=2t/(1+t^2)$
grazie!

[burm87]

$t=tg(x/2)$
$x/2=arctg(t)$
$x=2arctg(t)$
$dx=2*(1/(1+t^2))dt$