Studiare il carattere della seguente serie:
$ sum (1/n)^(1+1/n) $
Vorrei una vostra opinione sul procedimento che ho usato per risolvere questo quesito.
$ lim_(n -> +oo)(1/n)^(1+1/n)/(1/n) = lim_(n -> +oo)((1/n)(1/n)^(1/n))/(1/n) = lim_(n -> +oo)(1/n)^(1/n) = lim_(n -> +oo)e^(1/n log(1/n)) = e^(lim_(n -> +oo)1/n log(1/n)) $
Detta $x = 1/n$, per $n -> +oo$, $x -> 0^+$
$lim_(n -> +oo)1/n log(1/n) = lim_(x -> 0^+)xlogx = 0$ perché limite notevole. Quindi
$ lim_(n -> +oo)(1/n)^(1+1/n)/(1/n) = e^0 = 1 != 0$. Quindi, $ sum (1/n)^(1+1/n) $ e $sum 1/n$ hanno lo stesso carattere per il criterio del confronto asintotico. $sum 1/n = sum 1/n^1$ diverge perché serie armonica di termine generale $1/n^alpha$ con $alpha = 1 <= 1$, quindi $ sum (1/n)^(1+1/n) $ diverge.
Fatemi sapere se potete, grazie.