cardinalità di $(Z[X])/((X^2−3;2X+4))$

Messaggioda jitter » 09/01/2017, 21:36

Ho eliminato un messaggio di ieri perché avevo fatto un ragionamento errato.
Ora ho trovato un esempio concreto da cui posso partire per chiedere chiarimenti in modo più sintetico:

http://math.stackexchange.com/questions ... x-x2-3-2x4
Immagine

Qualcuno mi potrebbe aiutare a capire come mai $(Z[x])/(x^2−3;2x+4)≃(Z_2[x])/(x^2+1)$?
(in pratica non ho capito questo svolgimento)

grazie mille

p.s. non so come mai mi taglia l'immagine. C'è scritto (a destra): this is the case / one can show that
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Re: cardinalità di $(Z[X])/((X^2−3;2X+4))$

Messaggioda Guido_1996 » 10/01/2017, 11:33

Ciao,
penso che, una volta dimostrato $(X^2-3,2X+4)=(2,X^2+1)$, sia possibile ragionare col terzo teorema di omomorfismo.
$(2) sube (2,X^2-1) sube ZZ[X]$, per cui $((ZZ[X])/((2)))/(((X^2+1;2))/((2)))~= (ZZ[X])/(X^2+1;2) $. Ora non dovrebbe essere difficile provare $(ZZ[X])/((2))~=ZZ_2[X]$, da cui poi si arriva alla soluzione che hai trovato; infatti $ ((X^2+1;2))/((2)) $ non è altro che l'ideale generato da $X^2+1$ in $(ZZ[X])/((2))$, cioè in $ZZ_2[X]$
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Re: cardinalità di $(Z[X])/((X^2−3;2X+4))$

Messaggioda jitter » 10/01/2017, 12:41

Ciao Guido, grazie per la risposta.

Guido_1996 ha scritto:Ciao,
penso che, una volta dimostrato $ (X^2-3,2X+4)=(2,X^2+1) $, sia possibile ragionare col terzo teorema di omomorfismo.
$ (2) sube (2,X^2-1) sube ZZ[X] $, per cui $ ((ZZ[X])/((2)))/(((X^2+1;2))/((2)))~= (ZZ[X])/(X^2+1;2) $.


non l'ho mai fatto, non riesco a capire l'uguaglianza...
Chiedo scusa, mi dimentico sempre di specificare i prerequisiti: l'esame è di algebra 1, le nozioni che ho sono la definizione di anello quoziente e il teorema di omomorfismo per cui l'anello quoziente A/I, con I = ker f, è isomorfo all'immagine f(A).

Per quanto riguarda le cardinalità dei quozienti, mi sono chiari il caso di $A/(p(x))$ dove A è un anello di polinomi euclideo (perché posso ragionare con i resti) e i casi analoghi a $(Z[i])/(10)$ perché posso partire da un isomorfismo tra $Z[i]$ con $ZxZ$ ecc. ecc.

Esempio: $A/I = (Z_2[x])/(x^2+1)$ so che ha cardinalità 4, perché sono 4 i polinomi di grado 1 in $Z_2[x]$. Ma, tanto per capire, se voglio ritrovare questo fatto con il teorema di omomorfismo che conosco io, posso?

Cardinalità 4 ce l'hanno $Z_4$ e $(Z_2[x])/(x)$ x $(Z_2[x])/(x)$. Ho provato quindi a costruire un isomorfismo $f$ verso questi insiemi. Verso $Z_4$ non ci sono riuscita; verso $(Z_2[x])/(x)$ x $(Z_2[x])/(x)$ ho pensato di fare una cosa del genere (forse è una cavolata):

Parto da una prova: a cosa posso associare $x^3+x+1$?
"Divido" in due il polinomio, dato che devo andare nel prodotto cartesiano, cioè scrivo il polinomio come somma di due polinomi:

scrivo $x^3+x+1 = (x^3+x)+1 = x(x^2+1)+1$ (perché lo dico dopo)

Associo a ogni termine della somma il resto della sua divisione per $x$:
$x(x^2+1)+1 \mapsto (0; 1)$.

Facendo così il nucleo di f è (x) e posso applicare il teorema di omomorfismo.

Ha qualche senso? Non mi convince il fatto che non mi sembra costruita tanto bene la funzione: non so se è univoca e dovrei dimostrare che è un omomorfismo.

p.s. Mi sa che ho anche fatto un circolo vizioso: ho scelto $(Z_2[x])/(x)$ x $(Z_2[x])/(x)$ ma forse sarebbe stato più corretto prendere $(Z_2[x])/(x+1)$ x $(Z_2[x])/(x+1)$, perché $(x+1)^2=x^2+1$
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Re: cardinalità di $(Z[X])/((X^2−3;2X+4))$

Messaggioda Guido_1996 » 10/01/2017, 13:45

Ciao, in effetti non penso che il primo omomorfismo che hai definito sia corretto: $x^2+1$ dovrebbe stare nel nucleo, perché è lo 0 di A/I, ma non c'è, perché la sua immagine sarebbe (0,1).

Non credo che si possa fare a meno della divisione con resto. Io definirei l'omomorfismo nel modo seguente:
sia $f in ZZ_2[x]$ Allora f si scrive( in modo unico) come $f=(X+1)g+r$, con deg r=0. A f associo allora la coppia $(g(1),r) in ZZ_2 xx ZZ_2$. Il nucleo è formato dai polinomi f che si scrivono come $(X+1)g+0$, con g(1)=g(-1)=0, per cui g è divisibile pe$X+1$, cioè esiste h tale che g=(X+1)h. Pertanto, $f= ((X+1)^2)h$ ,ma $ X^2+1=(X+1)^2$ , perciò $f in (X^2+1)$

Per quanto riguarda la possibilità di risolvere l'esercizio senza usare il terzo teorema di omomorfismo, penso che tu possa ragionare in questo modo: Sia f un polinomio, $I=(X^2+1;2)$. Poiché 2 sta in I, in A/I posso sostituire a ogni coefficiente di f il suo resto nella divisione per 2, poi posso sostituire a questo altro polinomio il suo resto nella divisione per $X^2+1$ e ottengo un polinomio di primo grado a coefficienti 0 o 1, ce ne sono 4, per cui ho al più quattro classi di equivalenza. Ora basta dimostrare che sono distinte, cioè che 0, X, 1, X+1 sono in classi distinte.
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Re: cardinalità di $(Z[X])/((X^2−3;2X+4))$

Messaggioda jitter » 10/01/2017, 15:53

Grande!!!! :smt023 Ho capito il tuo ragionamento, grazie :smt023
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Re: cardinalità di $(Z[X])/((X^2−3;2X+4))$

Messaggioda Guido_1996 » 10/01/2017, 17:26

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