Utilizzo I teorema dei residui nel calcolo di un integrale curvilineo

Messaggioda gi88 » 11/01/2017, 22:28

Buonasera a tutti :). Scusatemi, ho un dubbio circa l'utilizzo del primo teorema dei residui quando ho svolto un esercizio in cui viene chiesto di calcolare un integrale curvilineo e nel quale la funzione integranda è olomorfa in un dominio regolare tranne che in due punti, uno interno al dominio regolare mentre uno è esterno. Ora, dato che il primo teorema afferma che se f(z) è olomofa in un dominio regolare tranne che in un numero finito di punti interni al dominio regolare, allora l'integrale curvilineo di f(z) è uguale alla somma dei residui di ciascun punto interno moltiplicata per 2 pigreco i, allora nel mio caso è corretto usare il primo teorema dei residui e considerare solo il residuo del punto interno (e tralasciando quindi quello del punto esterno)?
Ho svolto l'integrale anche con un altro metodo (la prima formula di Cauchy) e ho trovato lo stesso risultato trovato per l'integrale curvilineo svolto utilizzando il primo teorema dei residui...
Quindi penserei che non sia sbagliato utilizzare il primo teorema dei residui nel caso particolare sopra descritto. L'unico dubbio è sul tralasciare il punto esterno..
Grazie grazie grazie mille per la gentilissima disponibilità.
gi88
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Re: Utilizzo I teorema dei residui nel calcolo di un integrale curvilineo

Messaggioda Bremen000 » 11/01/2017, 22:53

Se chiamiamo $\gamma$ la curva chiusa su cui effettui l'integrale e le singolarità della funzione sono una interna e una esterna ad essa vale il

Teorema (dei Residui):

Sia $\Omega$ un insieme aperto del piano complesso $\mathbb C $. Siano $z_1,\ldots,z_n$ punti di singolarità della funzione $ f(z)$ in $\Omega$. Sia inoltre $\gamma $ una curva semplice chiusa in $\Omega\setminus\{z_1,\ldots,z_n\} $ tale che ${z_1,\ldots,z_n\} $ sia contenuto nel sottoinsieme limitato di $\mathbb C $ delimitato da $\gamma$.
Se $f(z) \in H(\Omega \setminus\{z_1,\ldots,z_n\})$, allora:

$$ \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n I_{z_k}(\gamma) \operatorname{Res}_{z_k}(f) $$

dove $I_{z_k}(\gamma)$ è l'indice di avvolgimento della curva $\gamma$ attorno a $z_k$.


Dunque alla luce di ciò, ti interessa molto poco cosa accade fuori da $\gamma$.
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Re: Utilizzo I teorema dei residui nel calcolo di un integrale curvilineo

Messaggioda gi88 » 11/01/2017, 23:18

Grazie, grazie mille per la gentilissima risposta. Mi scusi, non avendo studiato l'indice di avvolgimento, il teorema da Lei scritto equivale al teorema da me scritto?
In caso affermativo, dunque il procedimento (per l'integrale curvilineo in quella determinata "situazione") da me descritto sopra va bene?
Ancora grazie mille.
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Re: Utilizzo I teorema dei residui nel calcolo di un integrale curvilineo

Messaggioda Bremen000 » 11/01/2017, 23:25

Dammi del tu!
Probabilmente, se non sai cosa è l'indice di avvolgimento, quelli delle curve su cui integri attorno alle singolarità sono sempre 1 e dunque nell'enunciato di sopra è sufficiente considerare $I_{z_k} =1 AA z_k$.

Temo di non aver capito bene la situazione, vediamo se ho capito (addio formalità):

Hai una curva chiusa, la funzione che ci integri sopra ha una singolarità fuori dalla curva (la chiamo $z_1$) e una dentro (la chiamo $z_2$), giusto?

Se si allora il risultato dell'integrale è $$2\pi i \operatorname{Res}_{z_2} (f)$$.
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Re: Utilizzo I teorema dei residui nel calcolo di un integrale curvilineo

Messaggioda gi88 » 11/01/2017, 23:41

Ok :oops:. No, nella teoria studiata purtroppo non si parla di indice di avvolgimento e quindi il teorema presente sul materiale a disposizione ha una "forma" diversa :). Esatto, è così!! :oops: :) .
Dunque è esatto il mio procedimento? :oops:
Io "temevo" che avendo trovato due singolarità e avendo poi trovato che una era interna al dominio regolare in cui la funzione integranda è olomorfa, mentre un'altra singolarità era esterna, allora "abbandonare" (nel seguito dello svolgimento) la singolarità esterna, fosse sbagliato al fine dello svolgimento dell'integrale curvilineo ("ingenuamente" come pensare di non utilizzare un dato :oops: :oops: :( :-) ).
Ancora grazie mille :)
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Re: Utilizzo I teorema dei residui nel calcolo di un integrale curvilineo

Messaggioda Bremen000 » 11/01/2017, 23:46

Si si allora il tuo procedimento è esatto!

Prego!
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