Singolarità e sviluppo di Laurent

Messaggioda Ianya » 16/02/2017, 22:08

Buonasera
Devo determinare il tipo di singolarità della funzione
$ f(z)=(e^z-1)/(1-cosz) $ in $ z=0 $
e, in caso di polo, determinarne l'ordine e determinare la parte singolare.
Credo che $z=0$ sia un polo di ordine 2 poiché, posto $ h(z)=1-cosz $,
$ h(0) = 0, h'(0) = 0 $ mentre la derivata successiva non si annulla in zero.
Il mio problema è determinare la parte singolare di $ 1 - cosz $, che poi moltiplicherò per lo sviluppo di $ e^z - 1 $ per avere la parte singolare della funzione, fermandomi quando le potenze non saranno più negative.
Potreste spiegarmi come posso determinare la parte singolare di $ h(z) $ ?
Grazie in anticipo
Ianya
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Re: Singolarità e sviluppo di Laurent

Messaggioda gugo82 » 16/02/2017, 23:14

Occhio che $e^z-1$ si annulla in $0$...
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Singolarità e sviluppo di Laurent

Messaggioda javicemarpe » 16/02/2017, 23:53

You can factorize the function $g(z)= e^z-1 $ in zero as $g(z)=za(z)$ with $a(z) \ne 0$ in a neighbourhood of 0 because 0 is a zero of order 1 of g. Then you can study the singularity in 0 of the function $\frac{a(z)}{h(z)}$.
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Re: Singolarità e sviluppo di Laurent

Messaggioda Ianya » 17/02/2017, 00:46

Ho notato che il numeratore si annulla in 0 ma ho visto che, in un esercizio simile, lo sviluppo di $ 1/(1-cosz) $ ha come parte singolare $ 2/z^2 $ e non riesco a capire come ci si arrivi :(
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Re: Singolarità e sviluppo di Laurent

Messaggioda javicemarpe » 17/02/2017, 01:39

Well, you only have to know that a point $w in mathbb{C}$ is a pole of order k of a function $f$ if it is a zero of the same order of the function $\frac{1}{f}$. As 0 is a zero of order 2 of your function h, you know that you can factorize it as $z^2 b(z)$, where $b$ is nonzero in a neighbourhood of 0. Then, you can write $\frac{1}{h(z)}$ as $\frac{1}{z^2}\frac{1}{b(z)}$ with $b$ nonzero in a neighbourhood of 0.This implies that the first Taylor coefficient of $1/b$ is not zero, so the only thing to do now is to compute this first coefficient. I let you the details.
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Re: Singolarità e sviluppo di Laurent

Messaggioda gugo82 » 17/02/2017, 15:46

Ianya ha scritto:Ho notato che il numeratore si annulla in 0 ma ho visto che, in un esercizio simile, lo sviluppo di $ 1/(1-cosz) $ ha come parte singolare $ 2/z^2 $ e non riesco a capire come ci si arrivi :(

Hai studiato la teoria?

Ad ogni modo tra i comportamenti in $0$ delle due funzioni:
\[
\begin{split}
f(z) &:= \frac{e^z-1}{1-\cos z}\\
g(z) &:= \frac{1}{1-\cos z}
\end{split}
\]
c'è la stessa differenza che passa tra i comportamenti di:
\[
\begin{split}
F(z) &:= \frac{z}{z^2}\\
G(z) &:= \frac{1}{z^2}
\end{split}
\]
sempre in $0$... Riesci a classificare le singolarità di $F$ e $G$?
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Re: Singolarità e sviluppo di Laurent

Messaggioda Ianya » 18/02/2017, 21:31

Si, ho studiato la teoria.
$ z=0 $ è uno zero di ordine 1 del numeratore di $f$ ed uno zero di ordine 2 del suo denominatore e, quindi, è un polo di ordine 1. Per quanto riguarda la funzione $g$, è uno zero di ordine 2 del denominatore, quindi è un polo di ordine 2
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Re: Singolarità e sviluppo di Laurent

Messaggioda Ianya » 18/02/2017, 21:59

javicemarpe ha scritto:Well, you only have to know that a point $w in mathbb{C}$ is a pole of order k of a function $f$ if it is a zero of the same order of the function $\frac{1}{f}$. As 0 is a zero of order 2 of your function h, you know that you can factorize it as $z^2 b(z)$, where $b$ is nonzero in a neighbourhood of 0. Then, you can write $\frac{1}{h(z)}$ as $\frac{1}{z^2}\frac{1}{b(z)}$ with $b$ nonzero in a neighbourhood of 0.This implies that the first Taylor coefficient of $1/b$ is not zero, so the only thing to do now is to compute this first coefficient. I let you the details.


Dopo aver determinato lo sviluppo ed aver fattorizzato:
$ 1-cosz = z^2 /(2!) - z^4/(4!) +... +(-1)^(n+1) z^(2n) / ((2n)!) +... = z^2 (1/2 - z^2 /(4!)+...+(-1)^(n+1) z^(2n-2) /((2n)!) +...) $
come faccio a determinare da qui la parte singolare del reciproco di quella funzione?

Ho capito come fare, ho trovato su un libro come trattare il rapporto di due funzioni olomorfe che abbiano in un punto uno zero di ordine M ed N in modo da riscriverlo come
$ f(z) /g(z) = (z - z_0)^(M-N) (a(z)) /(b(z)) $
Grazie a tutti per l'aiuto :)
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