Cauchy

[Nemonobody]

Dire se il seguente problema di Cauchy $ { ( x'(t)=e^(x^2(t))-2 ),( x(0)=0 ):} $
ammette soluzione globale (su tutto $ R $) e quali sono eventualmente i limiti $ lim_(x -> +- oo) x(t) $

Sapreste spiegarmi come approcciare questo esercizio, ed esercizi simili. Il fatto che debba fare un'analisi qualitativa, o risolvere l'equazione in modo tradizionale da cosa lo posso capire? Ma soprattutto come impostare un'analisi qualitativa?, il mio libro di analisi non è molto chiaro e mi sta solo confendendo.
ps: dove posso trovare esercizi simili per allenarmi?; vi ringrazio in anticipo.

[Ernesto01]

Beh in generale se riesci a calcolare la soluzione del problema di cauchy è meglio, negli altri casi invece devi utilizzare la parte teorica e ricavarci le varie richieste.
Puoi notare che esistono delle soluzioni del problema di cauchy costanti, facili da notare (sono chiamate soluzioni stazionarie). Inizia a trovare quelle e poi vediamo il resto.

[Nemonobody]

Questo è il mio ragionamento: per calcolare le soluzioni stazionare, pongo uguale a zero $ x'(t) $, per cui $ e^(x^2)=2, x(t)=+- ln(2) $, per cui le soluzioni non potranno oltrepassare le rette $ x(t)=+-ln(2) $, e anche la retta $ x(0)=0 $, per il teorema di unicità delle soluzioni del problema di Cauchy? In seguito, devo studiare la crescenza e la concavità/convessità delle soluzioni, quindi ponendo la derivata prima e la derivata seconda maggiore di zero?

[Ernesto01]

$x(0)=0$ non è una retta ma un punto.
$e^(x^2)-2=0$ ha come soluzioni $x^2=log2$ e dunque $x=+-sqrt(log2)$
Le rette $x=+-sqrt(log2)$ sono due soluzioni stazionarie, dato che il tuo problema di cauchy passa per $x(0)=0$ allora la soluzione del tuo problema di cauchy è sicuramente compresa tra le due soluzioni stazionarie (dato che è valido il teorema di esistenza e unicità in tutto $R^2$), e questo garantisce anche l'esistenza globale.
Inoltre puoi notare che in questo intervallo hai $-sqrt(log2)<x<sqrt(log2)$ e dunque $x'=e^(x^2)-2<0$, la soluzione è decrescente in tutto $R$.
Per i limiti prova te , al limite vediamo insieme

[Nemonobody]

Il fatto di aver considerato $ x(0)=0 $ come una retta e non come un punto mi ha incasinato un pò. La soluzione essendo compresa tra $ +-sqrt log2 $ ed essendo decrescente, dovrebbe avere tendere a $ -sqrtlog2 $ per $t->+oo$ e $ +sqrtlog2 $ per $t->-oo$ ?

[Ernesto01]

L'esistenza dei limiti segue dalla monotonia (a priori potrebbero anche non esistere).
E si, quei limiti sono giusti.
Però devi dimostrarlo (a $+oo$ priori potrebbe essere un qualsiasi numero reale $-sqrt(log2)<l<0$).
Per dimostrarlo si usa il seguente teorema:

Sia $f: [a,oo]->R$ una funzione derivabile.
Supponiamo che esiste $lim_(x -> +oo) f(x)=l$ con $l in R$, allora $lim_(x -> + oo) f'(x)=0$

[Nemonobody]

Okay Ernesto01, ho finalmente capito. Ti ringrazio ancora una volta.