Sottospazio Vettoriale nel caso Complesso

[escher576]

Ciao a tutti!! Volevo chiedere chiarimenti riguardo a questo esercizio:
Stabilire se è un sottospazio vettoriale il seguente sottoinsieme di $R^2$ (con $a$ parametro reale)

$ S = {[(a^2),(0)]} $

si vede immediatamente che:
$text(a){::}_(\ \ 1)^(2) + text(a){::}_(\ \ 2)^(2) != (a_1+a_2)^2$

quindi $S$ non è un sottospazio vettoriale

L'esercizio chiede poi di verificare le stesse richieste pensando $S$ come sottoinsieme di $C^2$ (con $a in C$)
La risoluzione mi dice che in questo caso $S$ è un sottospazio vettoriale, ma non riesco a capire il perché

[Bremen000]

Ciao, secondo me è proprio sbagliato come dimostri che nel caso reale quello non è un sottospazio vettoriale, da cui poi deriva l'errore nel caso complesso. Dunque:

Sia $S := {((a^2),(0))\in \mathbb{R}^2 , a \in \mathbb{R}}$. Proviamo a dimostrare che è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^2$ sul campo $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ :

1. $((0),(0)) \in S$ essendo sufficiente scegliere $a=0 \in \mathbb{R} $

2. Siano $((a_1^2),(0))$ e $((a_2^2),(0))$ due elementi di $S$, la loro somma è data da $((a_1^2),(0)) + ((a_2^2),(0)) = ((a_1^2 + a_2^2),(0)) \in S$ giacché è sufficiente scegliere $a = \sqrt{a_1^2+a_2^2} \in \mathbb{R} $ infatti la radice quadrata di un numero non negativo è un numero reale.

3. Sia $((b^2),(0)) \in S $ e sia $k \in \mathbb{R} $ allora il prodotto dello scalare per il vettore è dato da $k ((b^2),(0)) = ((kb^2),(0))$ con $a = \sqrt{ka^2}$ che però non è necessariamente un numero reale se $k<0$.

Morale della favola, quello che fallisce nel primo caso è il prodotto per uno scalare e non la somma e dunque $S$ così definito non è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^2$.

Nel caso di $\mathbb{C}^2$ lo è e dimostrarlo ora dovrebbe esserti molto facile!

[escher576]

Grazie mille Bremen000!
Penso di aver capito come affrontare questa tipologia di esercizi; erroneamente utilizzavo lo stesso procedimento che si utilizza per verificare se un'applicazione è linerare (e non quello per verificare se un sottoinsieme è un sottospazio) e la cosa è totalmente errata

RIporto la mia risoluzione nel caso complesso (quello in cui $S$ è pensato come sottoinsieme di $C^2$, con $a in C$):

- $( ( 0 ),( 0 ) ) in S $, infatti basta prendere $a = 0 in C$

- prendo due elementi di $S$: $((a{::}_(\ \ 1)^(2)),(0))$, $((a{::}_(\ \ 2)^(2)),(0))$
la loro somma è $((a{::}_(\ \ 1)^(2) + a{::}_(\ \ 2)^(2)),(0))$
affinchè esso appartenga a $S$ è sufficiente prendere $a = sqrt((a{::}_(\ \ 1)^(2) + a{::}_(\ \ 2)^(2))$; $a$ esiste in $C$ in quanto è la radice quadrata di un numero complesso

- prendo un elemento $((b^2),(0))$ di $S$ e sia $k in C$
il loro prodotto è $k((b^2),(0)) = ((kb^2),(0))$ con $a = sqrt(kb^2)$; la radice quadrata di un numero complesso come $kb^2$ esiste in $C$

Quindi posso concludere che il sottoinsieme $S$ è un sottospazio vettoriale di $C^2$

[Bremen000]

Perfetto!