(Aiuto!) Studio di un endomorfismo partendo da assegnazioni di vettori appartenenti ad autospazi

Messaggioda Lowrenzo » 17/02/2017, 14:45

Salve a tutti, guardando fra le simulazioni di esame di Algebra e Geometria del mio corso (Ing.Industriale) mi è capitato fra le mani questo esercizio che mi ha causato un terribile blocco, il problema sta alla base, non solo non so da dove iniziare ma non sono neanche sicuro di aver capito cosa mi chiede. Potreste aiutarmi?

Dire per quali valori del parametro h, le seguenti assegnazioni definiscono un endomorfismo
$RR^3$ $rarr$ $RR^3$

$\{( v1 = ( h , 0 , 1 ) in V1 ),(v2=(1,1,0) inV2 ),(f(e1)=f(1,0,0)=(0,2,2)):}$

Dove V1 è autospazio relativo all'autovalore 1
Dove V2 è autospazio relativo all'autovalore 2
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Re: (Aiuto!) Studio di un endomorfismo partendo da assegnazioni di vettori appartenenti ad autospazi

Messaggioda feddy » 17/02/2017, 15:18

Innanzitutto, perché sia definito i vettori su cui definisci l'applicazione devono essere una base.

Resta da capire chi sono questi:
1.$e_1$ è il primo vettore della base canonica.

Ora si tratta di sfruttare le informazioni sugli autovettori.
[Nota che dalla definizione di matrice associata segue e autovalori/vettori segue: $f(v)=A*v=lambdav$. Quindi $f(v)=lambdav$].

Una domanda: sei sicuro di aver copiato bene il testo dell'esercizio?
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Re: (Aiuto!) Studio di un endomorfismo partendo da assegnazioni di vettori appartenenti ad autospazi

Messaggioda Lowrenzo » 17/02/2017, 18:36

feddy ha scritto:Innanzitutto, perché sia definito i vettori su cui definisci l'applicazione devono essere una base.

Resta da capire chi sono questi:
1.$e_1$ è il primo vettore della base canonica.

Ora si tratta di sfruttare le informazioni sugli autovettori.
[Nota che dalla definizione di matrice associata segue e autovalori/vettori segue: $f(v)=A*v=lambdav$. Quindi $f(v)=lambdav$].

Una domanda: sei sicuro di aver copiato bene il testo dell'esercizio?

Grazie per la risposta!
Si, il testo è esatto. Quello che mi manda in totale confusione è il fatto che ci siano due vettori appartenenti a due autospazi diversi e il terzo che è immagine del primo vettore della base canonica. Mi da l'impressione di operare su tre ambienti distinti e non riesco a risolverlo
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Re: (Aiuto!) Studio di un endomorfismo partendo da assegnazioni di vettori appartenenti ad autospazi

Messaggioda Lowrenzo » 19/02/2017, 21:52

Nessun suggerimento?
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Re: (Aiuto!) Studio di un endomorfismo partendo da assegnazioni di vettori appartenenti ad autospazi

Messaggioda anto_zoolander » 20/02/2017, 00:50

Intanto vedi se sono linearmente indipendenti...

$|(h,1,1),(0,1,0),(1,0,0)|=1ne0$

Dunque posto $B={(h,0,1),(1,1,0),(1,0,0)}$

Ora

$f(e_1)=1e_1$
$f(e_2)=2e_2$
$f(e_3)=(0,2,2)=2e_1+2e_2-2(h+1)e_3$

dunque $A_f=((1,0,2),(0,2,2),(0,0,-2(h+1)))$

Ora... mi sembra strano il testo dell'esercizio, perché $f:V->V$ è un endomorfismo.
A meno che non si desideri che non sia un automorfismo.... in quel caso basterebbe risolvere l'equazione $|A_f|=0$
Ovvero $|A_f|=-4(h+1)=0 <=> h=-1$

Dunque per $h=-1$ la funzione definisce un endorfismo ma non un automorfismo.
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

$sum_(n=0)^(infty)|phi|^n=1+Phi$

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Re: (Aiuto!) Studio di un endomorfismo partendo da assegnazioni di vettori appartenenti ad autospazi

Messaggioda Lowrenzo » 20/02/2017, 11:37

anto_zoolander ha scritto:Intanto vedi se sono linearmente indipendenti...

$|(h,1,1),(0,1,0),(1,0,0)|=1ne0$

Dunque posto $B={(h,0,1),(1,1,0),(1,0,0)}$

Ora

$f(e_1)=1e_1$
$f(e_2)=2e_2$
$f(e_3)=(0,2,2)=2e_1+2e_2-2(h+1)e_3$



Grazie dell'aiuto, credo che la soluzione sia proprio questa, non vedo altre alternative. Ma una cosa fondamentale non mi è ancora chiara...come hai fatto a ricavarti le immagini dei vettori, considerando che nel testo non viene riportata nessuna funzione dalla quale attingere?
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Re: (Aiuto!) Studio di un endomorfismo partendo da assegnazioni di vettori appartenenti ad autospazi

Messaggioda anto_zoolander » 20/02/2017, 13:36

Una immagina l'hai, e quindi é una gran cosa...
Poi per definizione di autospazio

$V_lambda={vinV:f(v)=lambdav}$

Dunque se sai che un vettore appartiene ad un autospazio l'immagine la sai, poiché ti basta dire che:
Se per esempio $vinV_2=>f(v)=2v$
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

$sum_(n=0)^(infty)|phi|^n=1+Phi$

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Re: (Aiuto!) Studio di un endomorfismo partendo da assegnazioni di vettori appartenenti ad autospazi

Messaggioda Lowrenzo » 20/02/2017, 14:54

Che stupido che sono, come non averci pensato prima!
Sei stato chiarissimo, grazie infinite!
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