La funzione :
\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{x-2} \)
è definita in \(\displaystyle \mathbb{R} - \{2\} \) (dominio di \(\displaystyle f(x) \)), ovvero il punto \(\displaystyle x=2 \) è un punto di discontinuità per la funzione in esame. Per verificare la continuità in un punto bisogna vedere se limite destro e limite sinistro esistono finiti e coincidono. In tal caso hai :
\(\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \;\;\;\;\;\;\;\; \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty \)
quindi i due limiti divergono (oltre al fatto che sono diversi), di conseguenza la \(\displaystyle f(x) \) per \(\displaystyle x=2 \) non è definita. Allora, in conclusione (in base al dominio di \(\displaystyle f \)) possiamo dire che essa è continua in tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \)
eccezion fatta per il punto \(\displaystyle x=2 \) (che rappresenta un punto di discontinuità).