Aiuto Numero Complesso

[Durden0074]

Ragazzi sto impazzendo. Devo risolvere il seguente numero complesso: ^4sqrt(-16), ovvero Radice Quarta di - 16.
Ho utilizzato la i e mi trovo: i * Radice Quarta di 16, con argomento ( 1/2 * 180 ), ma dovrebbe venire Pi greco quarti

[seb]

Semplificando il semplificabile:\[\sqrt[4]{-16}=2\sqrt[4]{-1}=2\sqrt{i}\]Ora vediamo di esprimere in una forma a noi congeniale quella radice quadrata della costante immaginaria:\[i=i+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1+2i-1}{2}=\frac{1+2i+i^2}{2}=\frac{(1+i)^2}{2}\implies\sqrt{i}=\frac{1+i}{\sqrt{2}}\]Un numero complesso \(z\) è esprimibile in forma trigonometrica secondo \(z=\rho(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\); allora \(\rho\) vale \(2\) ed è sufficiente considerare \(\cos{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) per ricavare \(\theta\).

[Magma]

$z=root(4)(-16)$

Essendo

$w=root(n)(z)=root(n)(abs(z))*{cos((Arg(z)+2kpi)/n)+i sin ((Arg(z)+2kpi)/n)}$; $ k=0,...,(n-1)$

E poiché

$abs(-16)=16; arg(-16)=pi$

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$if a ne0, Arg(z)=arctan(b/a)+kpi; k={ ( -1; if\text{III quadrante} ),( 0; if\text{I,IV quadrante} ),( 1; if\text{II quadrante} ):}$; $if a=0; Arg(z)={ ( +pi/2; if b>0 ),( -pi/2;if b<0 ):}$

Si ha

$w=root(4)(16)*{cos(pi/4+1/2kpi)+i sin (pi/4+1/2kpi)}$

Per $k=0$ si ottiene

$w_o=2*{cos(pi/4)+i sin (pi/4)}=sqrt(2)(1+i)$

Si potrebbe cercare gli altri valore incrementando $k$, ma basta ricordare che, nel piano di Gauss, la radice quarta forma un quadrato i cui spigoli sono proprio le soluzioni, pertanto

$w_1=sqrt(2)(-1+i)$

$w_2=sqrt(2)(-1-i)$

$w_3=sqrt(2)(+1-i)$

[Oiram92]

Oppure direttamente, infatti :

\(\displaystyle -1 = i^2 = e^{i\pi} \)

quindi :

\(\displaystyle z = \sqrt[4]{-16} = \left(e^{i\pi}\;2^4\right)^{\frac{1}{4}} = 2\;e^{i \;\frac{\pi}{4}} \)

da cui si ha \(\displaystyle |z|=2 \) e \(\displaystyle arg(z)=\frac{\pi}{4} \).

[Durden0074]

Grazie mille ragazzi. Avete chiarito i miei dubbi. C'è un modo per capire se sto sbagliando o meno quando farò il compito ?