da Ernesto01 » 25/02/2017, 00:16
Dunque sia $y=log(x)$
$y'=x^-1$
$y''=-x^(-2)$
Vorrei dimostrare che : $y^(n)=x^(-n)(n-1)!(-1)^(n+1)$ ($y^n$ intendo derivata n-esima)
Questo si dimostra per induzione, per $n=1$ è vero
Ipotizziamo sia vero per $n$, dimostriamolo per $n+1$
$y^n=x^(-n)(n-1)!(-1)^(n+1)$ vera per ipotesi, derivando ottengo
$y^(n+1)=-nx^(-n-1)(n-1)!(-1)^(n+1)(-1)=x^(-n-1)*n!*(-1)^(n+2)$
Che è proprio quello che volevo dimostrare