discontinuità e ammettere primitiva

Messaggioda mauri54 » 11/03/2017, 22:59

Ciao a tutti,
Potreste mica aiutarmi a capire meglio la teoria sul concetto di primitiva di una funzione su un intervallo?

Allora se ho una funzione continua su un intervallo $I$ allora ammette primitiva su $I$. Il viceversa è falso perché esistono funzioni discontinue che ammettono primitiva.

Quali discontinuità può ammettere una funzione che può avere primitiva? Quali discontinuità, invece, escludono l'ammettere primitiva?

Grazie mille
Mauri
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Re: discontinuità e ammettere primitiva

Messaggioda Fioravante Patrone » 12/03/2017, 19:55

Una chiave importante per risolvere la questione è: Darboux

https://en.wikipedia.org/wiki/Darboux%2 ... _(analysis)
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Re: discontinuità e ammettere primitiva

Messaggioda mauri54 » 12/03/2017, 22:59

Grazie per la risposta Fioravante!
Dunque se ho una funzione $f$ definita su un intervallo $I$ che ammette primitiva su $I$, cioè esiste una funzione $F$ derivabile su $I$ tale che $F'(x)=f(x)\quad\forall x\in I$, allora osservo che

1.$f$ non può avere discontinuità di I specie (a salto) perché altrimenti $f$ non sarebbe una funzione di Darboux, proprietà che invece hanno tutte le funzioni che ammettono primitiva.

2.Per quanto riguarda le discontinuità di terza specie invece non posso dire nulla perché anche se esistesse finito \( \displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=l \), e \( f(x_0)=m \) con $m\ne l$ oppure $x_0\notin dom(f)$ (questo ultimo caso, anche se per alcuni è considerato una discontinuità, direi che non va preso in considerazione perché $f$ è definita in un intervallo), per un corollario del teorema di Lagrange potrei affermare che esiste \( \displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=l \) e quindi $F$ è derivabile in $x_0$ e $F'(x_0)=l$. E quindi immagino anche che esistano funzioni con discontinuità di III specie che non ammettono primitive su $I$. Insomma con la terza specie devo valutare caso per caso. Giusto?

3.Per quanto riguarda la seconda specie, come prima, non considero i casi in cui $f$ abbia un punto fuori dal dominio in cui vi è un asintoto verticale (perché $f$ è sempre definita su un intervallo) e l'unica casistica che rimane è che
\( \nexists\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) \) o \( \nexists\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) \) o entrambi (ma $f(x_0)=l\in\mathbb{R}$). Tuttavia anche in questo caso non si può dire nulla.
Infatti c'è il classico esempio
\( f(x)=\begin{cases} 2x\sin{\frac{1}{x}}-\cos{\frac{1}{x}}\quad &x\ne 0 \\ 0\quad &x=0 \end{cases} \)
che ammette primitiva su $\mathbb{R}$ come ad esempio
\( F(x)=\begin{cases} x^2\sin{\frac{1}{x}}\quad &x\ne 0 \\ 0\quad &x=0 \end{cases} \)

Se invece $f$ fosse definita in $I\setminus\{x_0\}$ e in $x_0$ si presentasse un asintoto verticale allora \( \displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty \) e sempre per una conseguenza del teorema di Lagrange avrei che \( \displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\infty \) cioè $F$ non sarebbe derivabile in $x_0$. Questo discorso mi porterebbe a dire che non può esistere una primitiva su $I$ di una funzione che possiede all'interno di $I$ un punto che forma un asintoto.
Non posso dire nulla neanche se in $x_0$ esiste il limite della $f$ ma $x_0\notin dom(f)$?

Vi sembra corretto?
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