Radice n-esime di un numero complesso

Messaggioda ezio1400 » 12/03/2017, 13:10

Mi sto accingendo a studiare i numeri complessi. Dopo aver capito la formula di De Moivre :

$z^n = \rho^n (cos(n\vartheta) + i sin(n\vartheta))$ $(1)$

ho supposto che potevo calcolare la/e radice/i di un numero complesso con una formula che deriva direttamente dalla precedente semplicemente sapendo che $root(n)z = z^(1/n)$ per cui $(1)$ diventa:

$z^(1/n) = \rho^(1/n) (cos(\vartheta/n) + i sin(\vartheta/n))$

Non ho capito come mai in realtà l'argomento delle 2 funzioni goniometriche sia $(\vartheta+2k\pi)/n$ e perchè debbo avere $n$ radici . Che concetto ci sta dietro?

Grazie per le eventuali risposte!
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Re: Radice n-esime di un numero complesso

Messaggioda axpgn » 12/03/2017, 15:48

Perché $cos(theta/n)=cos((theta+2kpi)/n)$, no?
E facendo variare $k$ negli interi il valore del coseno cambia; notiamo però che si ripete quando $k>n$ perciò le radici diverse saranno solo $n$ ovvero fai variare $k$ così $0<=k<n$
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Re: Radice n-esime di un numero complesso

Messaggioda 21zuclo » 13/03/2017, 01:40

Riporto un esempio, così l'utente capisce meglio..

allora per quanto detto sopra..

se per esempio, si ha $ z=i $ e se ne vogliono calcolare le radici quadrate

sia $ { ( \rho=1 ),( \theta=\pi/2 ):} $

quindi si ha $ z=1\cdot (\cos((\pi/2+2k\pi)/2)+i\sin((\pi/2+2k\pi)/2)) $ con $ k=0,1 $

ok se provi ad inserire i valori $ k=0,1,2,3 $

vedrai che per $ k=2, k=3 $ ti ritrovi gli stessi valori di prima.
"Se la matematica è la regina delle scienze, allora l'algebra è il gioiello della sua corona"
(cit.)

$\sum_1^(+\infty) (1)/(n^2)=\pi^2/6$

$\sum_(n=1)^(+\infty) (1)/((2n+1)^4)=(\pi^4)/(96)$
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Re: Radice n-esime di un numero complesso

Messaggioda ezio1400 » 13/03/2017, 07:52

Ok capito. Grazie
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