Studio funzione integrale

[nick_10]

Buonasera a tutti!! Stavo affrontando un esercizio su uno studio di una funzione integrale con particolari richieste. Mi farebbe piacere condividere l'esercizio con voi per chiarimenti e/o conferme riguardo il mio svolgimento.
"Consideriamo la funzione definita da $f(x)=\int_{x}^{x^2} dt/(2+t^4)$
a)Determinare quanti sono i valori di b per cui $f(x)=b$ NON ha soluzioni;
b)Determinare quanti sono i valori di b per cui $f(x)=b$ ha un'UNICA soluzione;
c)Determinare se $f(x)$ è lipschtiziana su tutto R;
d)Determinare per quali valori di a appartenente a R si ha la convergenza dell'integrale: $\int_{2015}^{+infty} [f(x)]^a dx$

Per i primi due punti dovrebbe bastare uno studio rapido della funzione integrale anche se non riesco a venirne a capo per determinare il numero esatto dei valori del parametro. Il dominio della funzione è R; essa risulta positiva quando $x^2>x$ ovvero quando $x<0$ $x>1$, nulla per $x=0,1$, negativa altrove. La funzione è limitata poichè entrambi gli integrali impropri convergono. Con lo studio della derivata che dovrebbe risultare $f'(x)=(-x^8+2x^5+4x-2)/((2+x^8)(2+x^4))$, posso concludere che la funzione è lipsch. su tutto R perchè entrambi i limiti a $+infty$ e $-infty$ tendono a zero.
Per il punto d) invece ragionando tramite veloci equivalenze asintotiche e senza una formalizzazione precisa, f(x) dovrebbe risultare asintonticamente uguale a $-1/(3t)^a$ per t tendente a $+infty$, dunque l'integrale converge se e solo se $a>1/3$
Grazie in anticipo per chi vorrà collaborare!!!