Lim t=>o ∆x/∆y

[antonio9992]

Non ho mai visto la dicitura:

$ lim_(∆t -> 0) (∆x)/(∆y) $

Non ha nessun uso tale limite?

O forse perché per il teorema ponte (o di collegamento tra limiti di funzioni e successioni) se ∆t tende a zero lo fa anche ∆y(∆t) e quindi questa è una semplice derivata in y?

[Raptorista]

Definisci tutti i simboli.

[antonio9992]

Definisci tutti i simboli.

Ovviamente
∆x= x(t+∆t)-x(t)
∆y=y(t+∆t)-y(t)

[pilloeffe]

Ciao antonio9992,

Ti premetto che anch'io non ho mai visto la scrittura che hai citato, per cui potrei anche dire delle sonore boiate, ma ci provo. In base alle definizioni che hai dato per $\Delta x$ e $\Delta y$, ipotizzo una possibile interpretazione come rapporto fra le derivate delle due funzioni $x(t)$ e $y(t)$:

$lim_{∆t \to 0} frac{∆x}{∆y} = lim_{∆t \to 0} frac{∆x}{∆t} \cdot frac{∆t}{∆y} = lim_{∆t \to 0} frac{∆x}{∆t} \cdot frac{1}{frac{∆y}{∆t}} = frac{lim_{∆t \to 0} frac{∆x}{∆t}}{lim_{∆t \to 0} frac{∆y}{∆t}} = frac{x'(t)}{y'(t)}$

naturalmente ammesso che tutti i vari limiti esistano...
Qualora invece vi fosse un refuso e fosse $\Delta y \to 0$, allora la scrittura l'ho vista da qualche parte, ad esempio nel calcolo della derivata della funzione inversa:

$x'(y) = frac{dx}{dy} = lim_{∆y \to 0} frac{∆x}{∆y} = lim_{∆x \to 0} frac{1}{frac{∆y}{∆x}} = frac{1}{lim_{∆x \to 0} frac{∆y}{∆x}} = frac{1}{frac{dy}{dx}} = frac{1}{y'(x)}$

[antonio9992]

In realtà per i limiti non puoi fare in questo modo perché:

Al limite

$(∆t)/(∆t)=(∆t)1/(∆t) $

Che è un passaggio che hai saltato facendo le semplificazioni e 1/∆t tende and infinito, quindi tale uguaglianza non vale, hai come limite 0 per infinito, guarda la dimostrazione della regola della catena per esempio non è semplice come dici tu e come è intuitivo (perché poi alla fine è anche vero ma si arriva in modo diverso)

[antonio9992]

Il risultato è giusto