Buonasera,
per dimostrare che $lim_{n->oo}(1 + z/n)^n = lim_{n->oo} \sum_{k=0}^\infty ((n),(k))(z/n)^k = \sum_{k=0}^\infty lim_{n->oo}((n),(k))(z/n)^k = \sum_{k=0}^\infty z^k/(k!)$ ho bisogno del Teorema di Convergenza Dominata per Serie: la dimostrazione che ho trovato non mi è chiara;
Siano ${c_(n,k)}$ , ${ddot c_k}$ e ${b_k}$ successioni complesse con $n,k in NN$ tali che:
i) $AA k in NN $ $c_(n,k) -> ddot c_k$
ii) $AA k, AA n$ $ |c_(n,k)| <= b_k$
iii)$\sum_{k=0}^\infty b_k < oo$
allora $EE lim_{n->oo} \sum_{k=0}^\infty c_(n,k) = \sum_{k=0}^\infty ddot c_k$
Comincia la dimostrazione:
$|\sum_{k=0}^\infty c_(n,k) - \sum_{k=0}^\infty ddot c_k| =| \sum_{k=0}^\infty (c_(n,k) - ddot c_k)| <= | \sum_{k=0}^\p (c_(n,k) - ddot c_k) | + |\sum_{k>p}^\infty (c_(n,k) - ddot c_k)| <= | \sum_{k=0}^\p (c_(n,k) - ddot c_k) | + 2 \sum_{k>p}^\infty b_k <= | \sum_{k=0}^\p (c_(n,k) - ddot c_k) | + 2(\sum_{k= 0}^\infty b_k - \sum_{k=0}^\p b_k)$
A questo punto dice: $AA \epsilon > 0 EE p in NN$ t.c. $\sum_{k= 0}^\infty b_k - \sum_{k=0}^\p b_k <= \epsilon /3$ cioè $p$ molto grande quindi per [ $n->oo$ $EE n_0 in NN$ t.c. $ AA n >= n_0$ $ | \sum_{k=0}^\p (c_(n,k) - ddot c_k) | <= \epsilon /3$ ] perciò $AA n >= n_0$ $ |\sum_{k=0}^\infty (c_(n,k) - ddot c_k)| < \epsilon /3 + 2 \epsilon / 3 = \epsilon$
Ciò che non capisco è da dove si deduce la parte tra quadre rosse []
Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmelo?
Grazie