Re: Funzione sequenzialmente continua

Messaggioda antonio9992 » 24/03/2017, 09:41

javicemarpe ha scritto:A set $A$ in a topologic space $X$ is closed if and only if it contains the limit of all its convergent sequences. Then, if $A$ is a subset of $X$, you have that its closure is equal to the "sequential closure", so, if "$\{x\}$" is the set of points of the sequential closure of $A$ which are not in the closure of $A$, you have that "$\{x\}$" does not contain any point, i.e., it is empty.


Ma perché dici che A è chiuso?
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Re: Funzione sequenzialmente continua

Messaggioda javicemarpe » 24/03/2017, 09:49

I am not saying $A$ to be closed, but $\overline{A}-seqcl(A)=\emptyset$, where $seqcl(A)$ is the "sequential closure" of $A$. Then, $\{x\}$ is empty.
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Re: Funzione sequenzialmente continua

Messaggioda antonio9992 » 24/03/2017, 14:46

Scusa allora ad A che è aperto aggiungo tale insieme vuoto {x} la loro unione è chiuso?

A è diverso da A U {x} ?
A U {x} è anche un aperto perché unione di due aperti giusto?

Perdona l'insistenza
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Re: Funzione sequenzialmente continua

Messaggioda antonio9992 » 24/03/2017, 17:46

Hai detto che ho ricopiato male l'esempio, ma li dice:

"...subset A whose closure is strictly larger than its sequential closure..."

Ed hai detto che ciò non è possibile
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Re: Funzione sequenzialmente continua

Messaggioda antonio9992 » 24/03/2017, 18:31

Da Wikipedia:

"Si dimostra che ogni sottoinsieme aperto di X è sequenzialmente aperto e che ogni sottoinsieme chiuso di X è sequenzialmente chiuso. In generale, queste proposizioni non ammettono l'inverso."
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Re: Funzione sequenzialmente continua

Messaggioda javicemarpe » 24/03/2017, 19:30

I think that the best thing you can do is to study some basics about topology. They're easy things and you will understand everything better.

On the other hand, as I see that you don't trust me (or maybe you don't understand me), I'll give you as a reference the book of Munkres, which is a very good book on topology. You should read it if you are actually interested in these topics. I attach a screenshot in which it appears the theorem I told you, a set is closed iff it contanis all its limit points (which are the limits of sequences of points in the set) and, then, the closure of a set $A$ is not other thing that $A\cup A'$, where $A'$ is the set of limit points of $A$.


Immagine

Maybe we're not talking about the same thing... What do you mean by "sequential closure" of a set$A$?
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Re: Funzione sequenzialmente continua

Messaggioda antonio9992 » 24/03/2017, 21:57

No perché dalla definizione un chiuso contiene i suoi punti di aderenza (aderenti points), ma non tutti i punti di aderenza sono di accumulazione (limit points). Però in realtà hai ragione tu, perché i punti che non appartengono alla chiusura sequenziale ma solo alla chiusura sono i punti isolati che appartengono all'insieme.

Quindi nell'esempio quando dice: "Take any x which lies in the closure of A but not in the sequential closure of A."

Intende dire, in modo più semplice, che: "Prendiamo i punti isolati di A e chiamiamoli x."

Quindi {x} è l'insieme dei punti isolati di A e non è vuoto.

Dimmi, ora ci troviamo?
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Re: Funzione sequenzialmente continua

Messaggioda javicemarpe » 24/03/2017, 22:29

An isolated point which is not in $A$ can not be in the closure of $A$, so, if you take the sequential closure (which you didn't define, it's the third time I ask you for it), the only way to have $x$ an isolated point in this set (in the sequential closure) is to have it contained in $A$ (because, as the Corollary above says: the closure of a set is the same as it's "sequential closure").
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Re: Funzione sequenzialmente continua

Messaggioda antonio9992 » 24/03/2017, 23:23

antonio9992 ha scritto: i punti isolati che appartengono all'insieme


Chiusura sequenziale: dato un sottoinsieme A di uno spazio topologico X l'insieme dei punti di X che possono essere espressi come convergenza di una successione di punti appartenenti A è detta chiusura sequenziale di A

O in modo più semplice: sia X uno spazio topologico la chiusura sequenziale di A e l'insieme:

Immagine

I punti della chiusura sequenziale ovviamente sono di accumulazione e vale quello che ho detto.
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Re: Funzione sequenzialmente continua

Messaggioda antonio9992 » 25/03/2017, 00:00

Inoltre non tutti i punti di accumulazione appartengono alla chiusura sequenziale, quindi {x} contiene i punti isolati di A e i punti di accumulazione di A che non appartengono ne ad A e ne alla sua chiusura sequenziale.
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