Il testo è il seguente:
Si considerino due urne identiche. Si sa che l’urna 1 contiene 1 pallina bianca, 2 palline nere e 3 palline rosse, mentre l’urna 2 contiene 3 palline bianche, 1 pallina nera e 2 palline rosse.
Si calcoli:
i) la probabilità di estrarre ogni colore(ad esempio una bianca) scegliendo un’urna a caso tra le due;
ii)supponiamo di scegliere un’urna a caso e di estrarre una pallina bianca, qual è la probabilità che l’urna scelta sia la numero 1?
iii)si supponga, come al punto (ii) che venga scelta un’urna a caso e che venga estratta una pallina bianca. Si supponga ora di effettuare una seconda estrazione dall’ altra urna e che venga estratta una pallina nera.
Qual è la probabilità che la prima urna usata sia l’urna 1?
Risoluzione.
Chiamo \( \Omega= \cup_i = {\mathbf{estrazione \\dall'i-esima \\urna}} \) .
Sia $B$={pesco una pallina bianca}.
i)
Visto che ho partizionato l'evento certo $Omega$, posso utilizzare la formula delle probabilità totali.
$mathbb{P}(B)= sum_{i=1}^{2} mathbb{P}(B|I_i)*mathbb{P}(I_i)= mathbb{P}(B|I_1)*mathbb{P}(I_1)+mathbb{P}(B|I_2)*mathbb{P}(I_2)=1/6 * 1/2 + 1/2 * 1/2 = 1/3$.
ii)
Qui mi pare abbastanza immediato usare Bayes:
$mathbb{P}(I_1|B)=(mathbb{P}(B|I_1)*mathbb{P}(I_1))/(mathbb{P}(B|I_1)*mathbb{P}(I_1)+mathbb{P}(B|I_2)*mathbb{P}(I_2))=1/4$
iii) E' quello che mi ha messo più in difficoltà:
Chiamo $E_1$={La prima urna è la 1}.
Chiamo $B$={Dalla prima urna scelta pesco una bianca}
Chiamo $N$={Dalla seconda urna scelta pesco una nera}
Mi viene dunque chiesta $mathbb{P}(E_1|B cap N)=(mathbb{P}(B cap N|E_1)*mathbb{P}(E_1))/(mathbb{P}(B cap N|E_1)*mathbb{P}(E_1) + mathbb{P}(B cap N|E_2)*mathbb{P}(E_2))$
Ho che $mathbb{P}(B cap N|E_1)=1/6 * 1/6 = 1/36$, $mathbb{P}(E_i)=1/2$, e $mathbb{P}(B cap N|E_2)=1/6$.
da cui sostituendo nella formula trovo che $mathbb{P}(E_1|B cap N)=1/13$.
Chiedo gentilmente conferma, specialmente sull''ultimo punto dove sono un po' incerto.
Ora lo guardo e provo 