elevazione a n>2 matrici

[Lavinia Volpe]

ho questo dubbio: Sia $A$ una matrice, in generale
$A^(2)=A A $
$ A ^(3)= A^(2) A $
ma non ad $A * A^(2)$ , giusto?

[sandroroma]

Se non ricordo male il prodotto tra matrici, sempre che sia eseguibile !, è associativo.
Nel caso tuo la matrice A deve essere necessariamente quadrata per rendere possibile il prodotto $A\cdot A$.
Supposto che questa condizione sia soddisfatta, si ha:
$A^3=A\cdotA\cdotA=(A\cdotA)\cdotA=A^2\cdotA$
$A^3=A\cdotA\cdotA=A\cdot(A\cdotA)=A\cdotA^2$
Pertanto :
$A^3=A^2\cdotA=A\cdotA^2$

[Lavinia Volpe]

ma di fatto se $A$ e $B$ sono matrici che si possono moltiplicare, $AB$ non è uguale a $BA$

[Lavinia Volpe]

devo fare questo esercizio
data la matrice $A= ( ( 1 , a ),( 0 , 1 ) ) $
trovare $a'(2), a^(3), a^(n) $ per ogni intero positivo $n$

$A^(2) = A*A = ( ( 1 , a^(2) ),( 1 , 1 ) ) $

$A^(3) = A^(2) A = ( ( 1 , (a^(2)+a) ),( 1 , (1+a) ) ) $

(che è diverso da $A * A^(2) = ( ( 1+a , (a^(2)+a) ),( 1 , 1 ) ) $ )
continuando con quest'idea:

$A^(4)= ( ( 1 , (a^(2)+2a) ),( 1 , (1+2a) ) ) $

Riesco a scrivere la regola solo per $n>1$ ($n$ intero): $ ( ( 1 , [a^(2)+(n-2)a] ),( 1 , [1+(n-2)a] ) ) $

[@melia]

Nel calcolo di $A^2$ hai sbagliato sia il termine $a_(1,2)$ che il termine $a_(2,1)$, infatti
$a_(1,2)=((1,a))*((a),(1))=1*a+a*1=2a$
$a_(2,1)=((0,1))*((1),(0))=0*1+1*0=0$, di conseguenza

$ A^(2) = A*A = ( ( 1 , 2a ),( 0 , 1 ) ) $

[Ernesto01]

Una volta che hai ipotizzato come è fatto $A^n$ devi far vedere che effettivamente quella forma è corretta, di solito si fa per induzione

[Lavinia Volpe]

Nel calcolo di $A^2$ hai sbagliato sia il termine $a_(1,2)$ che il termine $a_(2,1)$, infatti
$a_(1,2)=((1,a))*((a),(1))=1*a+a*1=2a$
$a_(2,1)=((0,1))*((1),(0))=0*1+1*0=0$, di conseguenza

$ A^(2) = A*A = ( ( 1 , 2a ),( 0 , 1 ) ) $

Ah! Allora
- la regola è $ ( ( 1 , na),( 0 , 1 ) ) $
o si scrive in un altro modo?

- in questo caso il prodotto è commutativo

[Lavinia Volpe]

Una volta che hai ipotizzato come è fatto $A^n$ devi far vedere che effettivamente quella forma è corretta, di solito si fa per induzione

c'è un esercizio che chiede di usarel'induzione, che io non so usare, cioè una volta ho letto qualcosa a riguardo
l'esercizio è:
Sia A una matrice strettamente diagonale superiore nxn, cioè una matrice quadrata $a_(ij)$ in cui tutte le componenti sulla diagonale e sotto di essa sono uguali a zero. Dimostrare che $A^(n)=0$ (si può fare la dim solo per n= 2,3,4. Il caso generale può essere trattato col metodo d'induzione)
la dimostrazione per n=2,3,4 penso di averla fatta correttamente, però ho qualche dubbio, dopo o domani la scriverò
l'induzione ho provato

$n=1, A^(1)=A=0$
$A^(n+1) =A^(n)*A^(1) = A^(n)*0=0$

[Lavinia Volpe]

mi sono accorta che è sbagliato

[Lavinia Volpe]

.