[Teoria dei segnali] Calcolo energia

[dotor46]

Salve, mi servirebbe un aiuto nel calcolo dell'energia/potenza dei segnali. Il mio problema riguarda i segnali dati dal prodotto di due segnali. Ad esempio come faccio a calcolare l'energia del seguente segnale?
$y(t)=Ae^(-|t|/T)pi(t/2)$

[gugo82]

Perchè non usi la definizione?

[dotor46]

Innanzitutto ti ringrazio per la risposta, non riesco a capire come applicare la definizione proprio perché c'è il prodotto, potresti farmi un esempio magari anche con un altro segnale dato dal prodotto di due segnali se non vuoi farmi questo, te ne sarei molto grato

[gugo82]

Chi è $\pi(t/2)$?

Qual è la definizione di energia di un segnale?
(Insomma, non mi ricordo mai se ci va il quadrato oppure no dentro l'integrale... Maledetti ingegneri! )

[dotor46]

$pi(t/2)$ è la finestra rettangolare di ampiezza 1 compresa tra -1 e 1.
La formula per il calcolo dell'energia è $E_x=lim T->\infty \int|x(t)|^2dt$

[gugo82]

Vabbè, allora devi calcolare l'integrale:
\[
\int_{-\infty}^\infty A^2\mathbf{e}^{-\frac{2|t|}{T}}\ \Pi^2 \left( \frac{t}{2}\right)\ \text{d} t = \int_{-1}^1 A^2\mathbf{e}^{-\frac{2|t|}{T}}\ \text{d} t = 2A^2 \int_0^1 \mathbf{e}^{-\frac{2t}{T}}\ \text{d} t
\]
che mi pare proprio il più semplice integrale di Analisi I...

[dotor46]

Vabbè, allora devi calcolare l'integrale:
\[
\int_{-\infty}^\infty A^2\mathbf{e}^{\frac{2|t|}{T}}\ \Pi^2 \left( \frac{t}{2}\right)\ \text{d} t = \int_{-1}^1 A^2\mathbf{e}^{\frac{2|t|}{T}}\ \text{d} t = 2A^2 \int_0^1 \mathbf{e}^{\frac{2t}{T}}\ \text{d} t
\]
che mi pare proprio il più semplice integrale di Analisi I...

Manca il meno all'esponente della A, mi trovo con il risultato grazie mille.
Quindi io facendo il prodotto metto gli estremi dell'intervallo dove si sovrappongono i segnali, in questo caso 1 e -1 perchè sono dati dalla finestra rettangolare giusto?
Grazie millee

[gugo82]

Ok, grazie, ora correggo.

Per quanto riguarda gli estremi, nota che per definizione \(\Pi(t)\) è nulla fuori dall'intervallo \([-1/2,1/2]\) ed uguale ad $1$ in tale intervallo, ergo \(\Pi (t/2)\) è nulla fuori dall'intervallo \([-1,1]\) ed uguale ad $1$ in tale intervallo; quindi è piuttosto evidente che per ogni funzione $f$ risulta:
\[
f(t)\ \Pi\left( \frac{t}{2}\right) = \begin{cases} f(t) &\text{, se } -1\leq t \leq 1\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
e ciò implica:
\[
\int_{-\infty }^{+\infty} f(t)\ \Pi \left( \frac{t}{2}\right)\ \text{d} t = \int_{-1}^1 f(t)\ \text{d} t\; ;
\]
inoltre, vale pure:
\[
\int_{-\infty }^{+\infty} \left| f(t)\ \Pi \left( \frac{t}{2}\right)\right|^p\ \text{d} t = \int_{-1}^1 |f(t)|^p\ \text{d} t
\]
per ogni $p$ (questo perchè si vede subito che \(|\Pi|^p=\Pi\) e ciò si trasmette a tutte le altre porte unitarie).