METODI MATEMAT FISICA: esercizio spazi vettoriali

[mic_1]

Si consideri lo spazio vettoriale A delle funzioni \( {f:R \rightarrow R}\) analitiche ovunque, tali cioè che la serie di Taylor nelle derivate n-esime della funzione, calcolate in zero:
\( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty } f^{(n)}(0){\frac{x^n}{(n!)}} \)
ha raggio di convergenza infinito.

a) Si dimostri che il sottoinsieme: \( \varepsilon = { f:R \rightarrow R ; |f^n(0)|\leq p_f^n , \forall n } \) tra parentesi graffe
con p_f costante positiva (che non dipende da n ma può essere dipendente dalla funzione f), è un sottospazio vettoriale di A.

b) Si dimostri che il sottoinsieme: \( P_N = { f:R \rightarrow R ; f^n(0)=0, n\geq N } \) tra parentesi graffe
è un sottospazio vettoriale di A di dimensione finita e se ne determini una base.

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Per il primo punto un po ho capito ma per il secondo proprio non capisco come svolgerlo.
Il prof riporta questa soluzione:
b) \( {P_N}\) é chiaramente il sottoinsieme dei polinomi di grado al più N-1, che forma un sottospazio vettoriale generato dalla base dei monomi (cardinalità N): \( 1, x, x^2,....,x^{N-1} \)

Qualcuno potrebbe spiegarmi? Non capisco come arriva a questa soluzione. Grazie

[javicemarpe]

In order to see that $P_N$ is a subspace you only have to take $f,g\in P_N$ and check that $\alpha f+ \beta g\in A$ for all $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$, that is, it is an analytic function everywhere and that its $n$-th Taylor coefficient is zero from $N$ onwards. Regarding to the basis, you only have to check that $\{1,x,x^2,\ldots, x^{N-1}\}$ is linear independent, and this is easy, try to do it.

[mic_1]

Una cosa non mi è chiara ancora. Perchè considera questa base di monomi $ \{1,x,x^2,...., x^{N-1}\} $ ? Come viene scelta la base? La funzione f(x) iniziale non viene utilizzata per il calcolo della base? Grazie

[javicemarpe]

You consider this basis because $f\in P_N$ is a linear combination of the monomials $x^k$, $k=0,\ldots N-1$. I think that it is clear. I mean, the same way it is clear that $\{(1,0,\ldots,0),(0,1,\ldots,0),\ldots,(0,0,\ldots,1)\}$ is a basis of $\mathbb{R}^n$, it is clear that $\{1,x,x^2,\ldots,x^{N-1}\}$ is a basis of $P_N$. You can build any element of $P_N$ as a linear combination of the elements of that basis. Then, as you see, the shape of the functions $f\in P_N$ is what gives you the idea to consider $\{1,x,x^2,\ldots,x^{N-1}\}$ as a basis.

[mic_1]

Perdona la mia ignoranza ma la funzione f(x) ha però un (n-1) fattoriale al denominatore che mi confonde nella ricerca della base.

[javicemarpe]

This $(n-1)!$ is only a number, not a vector.

[mic_1]

Grazie 1000!

[mic_1]

Avrei un secondo problema sempre legato agli spazi vettoriali e verifica di sottospazi:

Sia \( C([0,1]) \) l'insieme delle funzioni continue \( f: [0,1] -> R \)
Devo verificare quali dei seguenti sottoinsiemi di \( C([0,1]) \) sono sottospazi lineari chiusi:
1) (considero ora solo il primo punto) in cui mi viene richiesto di verificare che un polinomio di grado esattamente uguale a 3 sia un sottospazio chiuso dello spazio vettoriale \( C([0,1]) \) precedentemente verificato.

Basterebbe verificare che sia chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare. Giusto?

Quindi ho provato a considerare i polinomio del tipo:
\( p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) e \( q(x) = a'x^3 + b'x^2 + c'x + d' \) per il calcolo della somma

Il professore afferma che Il vettore \(f = 0 \) non appartiene al sottoinsieme, che non risulta un sottospazio. Cioè? Perchè \( f \) è un vettore ora?

Ringrazio chiunque risponderà.

[javicemarpe]

A subset $A$ of a vector space $V$ is a subspace if and only if it is a vector space with the same operations as $V$. So, in particular, in order to be a vector space, it has to contain a null element, which is called $0$.

The elements of a vector space are called vectors (they can be functions or potatoes, but if they are elements of a vector space, then they're called vectors), and that's why they call $f$ a vector.

The null polynomial is the vector $f(x)=0$, but it is not a polynomial of degree $3$, so the set of polynomials of degree $3$ is not a subspace of $C( [0,1] )$.

[mic_1]

Quindi deve rispettare le proprietà di definizione norma? quando è strettamente definita positiva con ||f||= 0 => f=0

Quindi se ho capito bene non devono essere rispettare solo la 3a e la 4a proprietà di una norma (somma tra vettori e prodotto vettore per scalare), ma anche la 1a (definita positiva) e la 2a (strettam definita positiva) nella verifica di un sottospazio. Giusto? Ho capito bene?