Soluzioni intere

[ollyolly]

Mi sono trovato in difficoltà a risolvere
2(x^2)-2x+3=3^n
dove n e x sono numeri naturali

Facilmente si trovano le soluzioni (x,n) (0,1) e (4,3)
Come faccio a dimostrare che non ce ne sono altre? o se ci sono , come trovarle?
E in generale esiste qualche teorema o metodo per capire quante soluzioni può avere un equazione del tipo:
a(x^2)-bx+c=d^n con a,b,c,d fissati sempre per x ed n naturali?

[Maryana67]

Mi sono trovato in difficoltà a risolvere
2(x^2)-2x+3=3^n
dove n e x sono numeri naturali

Facilmente si trovano le soluzioni (x,n) (0,1) e (4,3)
Come faccio a dimostrare che non ce ne sono altre? o se ci sono , come trovarle?
E in generale esiste qualche teorema o metodo per capire quante soluzioni può avere un equazione del tipo:
a(x^2)-bx+c=d^n con a,b,c,d fissati sempre per x ed n naturali?

Ci provo, almeno per le soluzioni intere, dopo aver risolto rispetto a x,
basta dimostrare che:

$((2*3^n) - 5)$

sia un intero quadrato perfetto ma è evidente che per

$n>3$

ciò non è possibile...

Riepilogando le soluzioni sono le seguenti 4 coppie di interi (x,n):

$(0,1);(1,1);(-3,3);(4,3)$

Ciao Claudio.

[axpgn]

Mi pare che non sia sufficiente che sia un quadrato perfetto perché se non ho capito male ti ritrovi con $(2+-2sqrt(2*3^n-5))/4$ e quindi il numeratore deve anche essere divisibile per quattro (nel caso in questione cmq è un'osservazione inutile ...)

[axpgn]

Mi è venuto in mente qualcosa a riguardo delle radici razionali di un polinomio ... se rammento bene (ma non è detto ) se vi sono soluzioni intere vanno cercate tra i divisori di $(c-d^n)/a$ ...

[ollyolly]

$((2*3^n) - 5)$

sia un intero quadrato perfetto ma è evidente che per

$n>3$

ciò non è possibile...

Ciao Claudio.

Sono d'accordo con tutto ma come mai per $n>3$ non ci possono essere soluzioni?

[Maryana67]

@ollyolly

Ciao ollyolly, è vero ho glissato un po' e hai ragione di chiedere una dimostrazione.

Posso solo dirti che in questo caso sono andato ad istinto, usando anche solo quel poco di esperienza che ho di analisi matematica, come poi fanno anche molti "praticoni"... nel caso specifico infatti qui si confrontano due "velocità" di crescita diverse, da una parte una crescita quadratica (per il quadrato perfetto) dall'altra una crescita esponenziale (in questo caso a base 3) le quali per dare soluzioni intere devono necessariamente eguagliarsi e "collimare"...
... guarda caso, ciò accade solo per:

$n=1$ con $(x=0;x=1)$
oppure
$n=3$ con $(x=-3;x=4)$

... poi al crescere di $n$ le differenze di fatto divergono e non ci sono altre soluzioni intere.

Ora di sicuro per dimostrarlo seguendo questa "strada", bisogna per forza "scomodare" i logaritmi e volendo puoi cominciare a ragionarci su...
secondo me, si può anche trovare qualcosa di (più) semplice e rigoroso e forse anche senza usare i logaritmi (almeno spero... )

Concludo assicurandoti che dati alla mano (ossia alla mia prova empirica) il risultato a cui siamo giunti è esatto, quindi siamo almeno sicuri di essere sulla "buona strada"...

Claudio.
Ciao ciao.

[Maryana67]

@ollyolly
Ciao ollyolly, ti avevo lasciato in sospeso questo problema. In effetti più vado avanti a pensarci e ragionare e più mi rendo conto che dimostrare matematicamente che non esistono altre soluzioni intere oltre quelle che abbiamo facilmente trovato non è cosa semplice, anzi...
Tale convinzione si è poi ulteriormente rafforzata notando che l'espressione

$2*3^n \pm 5 = (3-1)*3^n \pm 5 = 3^(n+1) - 3^n \pm 5$

genera in alcuni casi dei grandi numeri primi ed in altri numeri che fattorizzati danno "semiprimi" molto grandi composti da numeri primi come 7 e 13 etc. etc. (in realtà si dovrebbero chiamare numeri k-quasi primi).
Pertanto dimostrare che oltre a 1=1*1 e a 49=7*7, questa espressione non sia successivamente mai un quadrato perfetto è cosa piuttosto ardua almeno con il metodo dei resti e l'approccio modulare... c'avrei anche provato ma si va a sbattere contro a un muro.

Tornando poi al tuo quesito generale (da non confondere con questa parte di dimostrazione) ti consiglio di considerare il tuo problema come un caso particolare della seguente espressione quadratica:
$ax^2+bx+c=d^n$
(che è la tua ponendo) $(a=2;b=-2;c=3;d=3)$.

Considerando $(c-d^n)$ come termine noto ottieni una versione modificata del classico discriminante, anzi qui ti scrivo proprio quanto valgono $x1$ e $x2$:

$(\pm sqrt((b^2)-4*a*c+4*a*(d^n))-b)/(2*a)$

che sono le due soluzioni in x (soluzioni reali, quando ci sono) parametriche e con n intero.

Arrivato a questo punto è stato un attimo impostare tutto su un foglio elettronico e devo dirti che i risultati sono molto sorprendenti al variare di a b e c ma soprattutto, vincolando questi ultimi, al variare di $d$ e $n$ (a questo punto con $n$ anche zero o negativo, perchè no?)... esperimento interessante da fare ma che rafforza la consapevolezza che un conto è vedere che le cose vanno in un certo modo, ben altra cosa è dimostrarlo matematicamente... ergo, sempre sia possibile, urge l'uso dei logaritmi ma allo stato dell cose non saprei nemmeno da dove cominciare...
Ciao ciao. Claudio.

[Maryana67]

@ollyolly
@axpgn
... dimenticavo, tanto per stuzzicare un po' la vs. curiosità, volevo presentarvi questo caso specifico per $d=9$:
$x^2-2x+1=9^n$
Questa non solo ha soluzioni intere, per n intero non negativo ma le ha SOLO TUTTE intere, di segno opposto e differenza in valore assoluto pari a 2:
$(0,2); (-2,4); (-8,10); (-26,28);(-80,82) ... $

... ora in effetti come ha fatto notare il buon Alex è (anche) perchè $a=1$...
ma quel teorema per trovare le soluzioni razionali di un polinomio $P(x)$ sarebbe interessante ma come poterlo applicare per arrivare al nostro obiettivo che è quello di dimostrare che in certi casi il numero di soluzioni intere è limitato?

... se qualche altra mente "eccelsa" del forum ci venisse in aiuto non ci offenderemmo ... intanto I'll keep thinking about it...
Ariciao.

[axpgn]

Scusa ma $x^2-2x+1=(x-1)^2$ quindi $(x-1)^2=(3^n)^2$ da cui $x-1=3^n\ ->\ x=3^n+1$ ... (od anche $x=1-3^n$ ...)

[Maryana67]

@axpgn ...
ti scuso ti scuso, perchè l'ho messo apposta, in questo caso specifico le soluzioni sono infatti solo e tutte intere (lo hai appena provato), ma foglio elettronico alla mano, i casi che si presentano a parte questo (se vuoi banale) sono soluzioni intere per valori "bassi" di $n$ e poi non ce ne sono altri, ma chi ti dice che non ce ne sono altri... ad esempio nel nostro caso specifico di
$2*3^n - 5$
ci sono una infinità di numeri che terminano per 1 o per 9, come infiniti sono i quadrati che terminano per 1 o per 9, siamo sicuri che si incontrano solo per 1 e 49, come fai a essere sicuro che non ce ne sono altri?
Questa è la mia domanda, poi che devo dire, sarà che mi piace infilarmi in cose difficili o impossibili...