Mentre stavo riposando dopo aver studiato storia per due ore, giocavo con la penna poggiando un'estremità sul tavolo e l'altra in una direzione che non la facesse stare in equilibrio, lasciandola quindi alla sola forza di gravità (se escludiamo l'attrito dell'aria ).
Mi sono chiesto se si può determinare in un qualche modo la legge che descrive il moto che la penna compie; ho cominciato a fare uno schemino grafico considerando che la penna sia libera di ruotare lungo il punto che poggia sul tavolo
La forza di gravità $F=mg$ può essere scomposta in due vettori $F_\bot$, perpendicolare alla penna, e $F_{||}$, parallelo alla penna. Ora se considero il momento torcente $M$ che questa forza genera, si ottiene che $M=F_\bot r/2$, dove $r/2$ rappresenta la metà della lunghezza ($r$) della penna, poiché la forza agisce sul baricentro; $F_\bot$ sarà uguale a $mgcos(\theta)$.
Il momento di inerzia della penna sarà $I=mr^2$, quindi visto che l'accelerazione angolare è uguale al rapporto tra la somma dei momenti torcenti e il momento di inerzia ($M/I=a_{agolare}$) ottengo che l'accelerazione angolare sarà uguale a $a_{angolare}=g/(2r) cos(\theta)$.
Il problema è giunto a questo punto, ed è per questo che mi rivolgo a voi del forum, infatti non riesco a trovare una relazione che leghi $\theta$ al tempo per poi poter integrare rispetto al tempo e trovarmi velocità angolare e angolo al variare del tempo.
All'inizio avevo pensato di usare la relazione $\theta= \omega t$ ma non penso sia possibile visto che la velocità angolare non è costante... qualcuno mi potrebbe aiutare a risolvere questo problema?
Grazie mille!