Relazione matriciale

[Gost91]

Salve a tutti, avrei bisogno di una mano riguardo il seguente problema: non riesco a dimostrare che

\[(zI-E)^{-1}MC(zI-\Phi)^{-1}=T(zI-\Phi)^{-1}-(zI-E)^{-1}T\]

sapendo che le matrici \(E,\Phi\) (quadrate) e \(T\) soddisfano la relazione

\[T\Phi-ET-MC=0\]

con \(I\) intendo la matrice identica, mentre con \(z\) uno scalare.

Ho pensato che fosse sufficiente sostituire \(T\Phi-ET\) a \(MC\), ma questo non porta direttamente al risultato ma a

\[(zI-E)^{-1}MC(zI-\Phi)^{-1}=(zI-E)^{-1}T\Phi(zI-\Phi)^{-1}-(zI-E)^{-1}ET(zI-\Phi)^{-1}\]

come si può procedere da questo punto?

[Ernesto01]

edit

[Ernesto01]

Partendo da qui
$(zI-E)^{-1}MC(zI-\Phi)^{-1}=T(zI-\Phi)^{-1}-(zI-E)^{-1}T $
Moltiplichiamo entrambi i membri a sinistra per $(zI-E)$ e destra per $(zI-Phi)$, a sinitra ottengo $MC$ mentre a destra
$(zI-E)T-T(zI-Phi)$=$zIT-zTI-ET+TPhi=-ET+TPhi$

Da cui $MC=TPhi-ET$ vero per ipotesi

[Gost91]

ti ringrazio