Esponenziale e Poisson

[stenford]

Non mi è chiaro un passaggio della dimostrazione che dice i tempi di attesa del primo successo(tempi di interarrivo) di un processo di poisson seguono in distribuzione la variabile esponenziale.( dei riferimenti sono "Una guida allo studio della probabilità e della statistica matematica" Capasso Morale pag 95).

Nella dimostrazione quindi si cerca di trovare la distribuzione del tempo del primo successo :
$ F_(T_1) = prob(T_1 <=t) =1-Prob(T_1 >t)=1-prob(N_t =0) $

In particolare il passaggio che non capisco è quello iniziale che pone come probabilisticamente equivalente i due eventi:

$ {T_1 > t} harr {N_t =0} $

Con $ {T_1 > t} $ il tempo di attesa del primo successo e $ {N_t =0} $ il numero di successi al tempo t.

Il mio dubbio è basato sul fatto che danno informazioni diverse. Il primo evento indica che il primo successo sarà dopo t secondi, quindi da l'informazione che in t secondi ho zero successi e ci sarà $s>t$ t.c. il primo successo sarà in $s$. Il secondo evento invece dà informazioni solo sul fatto che in t secondi si hanno zero successi, ma non dice niente sul fatto che ci sarà un qualche successo nel futuro. Riassumendo il primo implica che ci sarà un successo nel futuro il secondo evento non dice che ci saranno successi nel futuro.

Come mai mettono equivalenti tali eventi?

Poi il resto della dimostrazione è facimente comprensibile in quanto basta fare solo calcoli visto che $N_t $ è distribuita come una poisson

[tommik]

Considera una poisson in cui ci sono mediamente $lambda $ arrivi nell'unità di tempo. Se vogliamo calcolare gli arrivi nel all'interno del tempo t>0 la distribuzione sarà $Po(lambdat)$

Calcoliamo ora

$P (x=0)=e^ (-lambdat) $

Se ci sono zero arrivi nel tempo t significa che il tempo di interarrivo, ovvero il tempo fra un arrivo e il successivo è >t. Quindi $e^(-lambdat)=P (T>t) $ ovvero è un'esponenziale di media $1/lambda $

[stenford]

Quello che intendo io è che secondo me l'equivalenza di eventi dovrebbe essere:

$ {T_1>t}↔{N_t=0 , EE s>t : N_s =1 } $

Nell'equivalenza precedente si perde completamente l'informazione che esista un tale s futuro che dia un primo successo.

[stenford]

Il fatto di dire che il primo arrivo sia dopo t secondi ammette implicitamente che ci sia un arrivo nel futuro

[stenford]

Per spiegarmi un passo della dimostrazione non si può usare la soluzione.
Di sicuro è una affermazione idiota la mia però se mi dici che tale tempo del primo arrivo $s$ può non esistere allora l'evento sarebbe ${$\(\nexists\) $T_1} $ , il fatto di dire ${T_1 >t}$ implica la sua esistenza e potrà essere un tempo finito o non finito ma deve esistere, e poi si fanno i casi
Comunque nel poco tempo che ho vedendo su libri inglesi la dimostrazione è diversa da quella convenzionale che ho visto in due università italiane e su riferimenti italiani
Edit: svista mia sul riferimento del MIT si usa la stessa costruzione