Minimizzare Una Superficie col Calcolo Delle Variazioni

[mklplo]

Premessa:Non so se questa sia o meno la sezione giusta dove aprire questo argomento,se ho sbagliato sezione,vi chiedo scusa.
Salve,recentemente mi sono addentrato(grazie all'aiuto del forum) nel vasto campo del calcolo delle variazioni e come primo problema che decisi di affrontare scelsi quello di minimizzare una superficie,ma non ho capito come fare,nel senso non so qual'è il funzionale che devo minimizzare.Ci tengo a precisare che per superficie intendo qualunque superficie e non solo quelle di rotazione.
Se gentilmente qualcuno saprebbe spiegarmi cosa fare gliene sarei grato

[Rigel]

Non è un problema elementare.
Nella versione "calcolo delle variazioni", si tratta di minimizzare un funzionale del tipo
\[
\int_\Omega \sqrt{1 + |\nabla u(x)|^2}\, dx
\]
per funzioni \(u \colon \Omega\to \mathbb{R}\) con dato al bordo assegnato, in un opportuno spazio funzionale.

[mklplo]

Grazie per avermi risposto,ma per le superfici non si usa un integrale doppio?

[Rigel]

Grazie per avermi risposto,ma per le superfici non si usa un integrale doppio?

Certo. Qui \(\Omega\) è un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^2\) (o, più in generale, di \(\mathbb{R}^n\)), \(x = (x_1, x_2)\). L'integrale è inteso rispetto alla misura di Lebesgue in \(\mathbb{R}^2\).

[mklplo]

Ti ringrazio nuovamente per la tua risposta,quindi se ho capito bene per minimizzare devo risolvere la seguente equazione di Eulero-Lagrange:
$ d/(du)(sqrt(1+||gradu(x)||^2))-d/dx_1(d/(du_(x_1))(sqrt(1+||gradu(x)||^2)))-d/dx_2(d/(du_(x_2))(sqrt(1+||gradu(x)||^2)))=0 $
giusto?

[mklplo]

L'equazione che sopra ho scritto,sempre se fosse esatta,si potrebbe risolvere analiticamente?

[Rigel]

La lagrangiana dipende solo dal gradiente, \(L(x, u, p) \equiv L(p) = \sqrt{1 + |p|^2}\), dove \(p = \nabla u\).
Prova a riscrivere le equazioni di Eulero-Lagrange.
Queste ultime, in generale, non sono esplicitamente risolubili.
(D'altra parte, quasi nessuna equazione, differenziale o no, è risolubile esplicitamente; questa è un'idea strampalata che viene messa in testa agli studenti soprattutto alle scuole superiori.)

[mklplo]

Ti ringrazio della risposta,ma se l'equazione non è risolvibile in modo esplicito come si arriva ad affermare che:
A parità di volume, le sfere sono i solidi che minimizzano l'area della superficie?

[Luca.Lussardi]

Si fa in un altro modo, dimostrando la cosiddetta disuguaglianza isoperimetrica. Te la enuncio nel piano, che e' piu' semplice a scriversi. Quello che si dimostra e' che per ogni (piu' o meno ogni, inutile dettagliare qui) figura piana di area $A$ e perimetro $2p$ si ha $4\pi A\le (2p)^2$. Se tu prendi il cerchio di raggio $R$ vedi che questa disuguaglianza diventa uguaglianza, quindi a parita' di perimetro il cerchio massimizza l'area, e a parita' di area racchiusa il cerchio minimizza il perimetro.

[mklplo]

Grazie per la risposta,se non ti dispiace potresti,gentilmente,spiegarmi come si dimostra la disuguaglianza isoperimetrica