problema di calcolo tra probabilita' e rischio

[viaggiatore]

Buonasera a tutti, e' bene che confessi subito di non essere un matematico ed anzi di avere ogni sorta di difficolta' in materia. Per questo mi rivolgo a voi confidando in un cortese aiuto. Gia' dico che il mio linguaggio potra' non essere all' altezza ma cerchero' di spiegarmi ugualmente. Aiutarmi, poi, al vostra buon cuore.
Il problema e' il seguente:

Ho una lista di ipotetiche conseguenze negative ( 7 nello specifico )legate ad un determinato compito da svolgere.
Ad ognuna e' stato attribuito un valore della gravita' che va da 0 a 100
Ognuna di queste conseguenze ha un' ipotetica probabilita' di verificarsi ma, anche in questo caso, sono stati attribuiti valori di probabilita' fra 0 e 100.

Esempio:

1 ) pericolo tale - gravita' ipotetica 60
2 ) pericolo tale - gravita' ipotetica 20

e di seguito per 7 valutazioni complessive di questo genere.

Ad ognuna e' stato attribuita una probabilita' che accada ( arbitraria, naturalmente ) da 0 a 100
Quindi: al numero 1 ( con gravita' 60 ) una probabilita' che si realizzi del 50; al numero 2 ( con gravita' 20 ) una probabilita' del 40 e di seguito sino alla settima voce di rischio.

La domanda e' questa: indipendentemente dalla mancanza d' oggetivita' delle cifre ( che sono percepite e teoriche ) che procedimento devo seguire per avere come risultato un numero o una percentuale che identifichi il rapporto tra la somma delle probabilita' stimate e la somma dei rischi? In pratica, stabilito un ideale pericolo 65 ( la somma dei sette enunciati )e una probabilita' totale 34 ( sommate tutte le singole ), come metto in rapporto il pericolo e la probabilita'? Come li metto in relazione per avere un solo numero che mi dica se il rischio e' accettabile o troppo elevato rispetto al risultato che si desidera raggiungere ( anch' esso derivante dalla somma di singoli vantaggi valutati da 0 a 100 e che posso risultare, ad esempio 87? ) Come leggo ed interpreto questo insieme di numeri con un numero solo o una percentuale od altro sistema matematico che mi dica di agire o di lasciar perdere in modo oggettivo ( pur soggettive essendo le stime)l' operazione a cui mi accingo? Date le mie limitazioni non posso asserire di aver fatto prove d' alto livello, ma tante di modeste eppure tutte errate.

Sperando, ma per nulla sicuro, di essermi spiegato ma altrettanto sperando che la domanda possa muovere qualcuno a compassione e che questi mi dia una risposta, fosse pure del genere " non significa nulla " o magari " devi procedere cosi'... "

Ringrazio e porgo cordiali saluti

Viaggiatore

[Injuria]

Secondo me questo pdf fa al caso tuo: http://www.matematica.it/impedovo/artic ... mmesse.pdf

Ci sono due concetti importanti che vengono spiegati in relazione al problema che poni: il valore atteso di una scommessa (qualsiasi attività dall'esito incerto è una scommessa) e l'approccio soggettivista alla statistica oltre ad alcune nozioni base espresse già da Tommik .
Per come la vedo io il rischio è sempre una funzione che associa una probabilità ad un evento e da cui, perciò, si può ricavare una misura di rischio.
Così è in molteplici ambiti, per esempio in finanza:
https://it.wikipedia.org/wiki/Valore_a_rischio
https://en.wikipedia.org/wiki/Expected_shortfall

nel controllo qualità:
https://it.wikipedia.org/wiki/Analisi_di_sopravvivenza

[viaggiatore]

Del fatto che la mia spiegazione del problema sarebbe stata rozza, come premettevo, non avevo dubbi, anzi, ringrazio per la clemenza.

Detto questo, procedo subito a leggere i link che mi sono stati segnalati ( mille grazie! ) e poi, citando la frase celebre: " Io speriamo che me la cavo ", voglio nutrire la speranza di cavarmela davvero; tuttavia comunico subito a Tommik che le mie conoscenze su matematica e statistica sono veramente molto limitate, limitatissime. Quindi, ammetto di non aver capito molto bene quanto mi ha spiegato ma, se volesse avere la gentilezza di farmi un esempio numerico, mi farebbe un grande piacere. Lo potrei usare come modello.

Posso proporre un caso ipotetico?

7 ipotetici possibili danni tra loro connessi dall' esito di una determinata azione
Ognuno e' diversamente stimato come gravita' da 0 a 100 o da 0 a 10 o altro modo ( secondo il tuo criterio perche' il mio e' forse poco adeguato ).

7 relative probabilita' che i danni temuti accadano ma diversamente ritenuti piu' o meno probabili ( anche qui in modo arbitrario stimate da 0 a 100 )

9 vantaggi risultanti la cui importanza e' stimata sempre da 0 a 100

Si puo' calcolare secondo un metro ( una percentuale, ad esempio ) se l' operazione tra gravita' dei danni temuti, livello di probabilita' che accadano e la consistenza della somma dei vantaggi, sia statisticamente piu' da farsi o da non farsi?
Come giustamente veniva detto, il discorso e' come valutare una scommessa. Se il rischio sia accettabile o no ovvero in che proporzione.

Grazie, vi state dimostrando veramente gentili. Spero vogliate seguitare a darmi una mano.
A presto!

[axpgn]

Da profano io proporrei un modello semplificato (o semplicistico, fate voi, sperando che tommik non mi massacri ... )

Poniamo di avere tre eventi (indipendenti fra loro): $A$ con una probabilità del $60%$ ed una perdita di $10$, $B$ al $50%$ e $40$, $C$ al $30%$ e $50$.
Allora dato che i casi possibili sono $8$ verrebbe una tabella così fatta:

Caso	p%	Valore
$\barA\barB\barC$	14	0
$A\barB\barC$	21	10
$\barAB\barC$	14	40
$\barA\barBC$	6	50
$AB\barC$	21	50
$A\barBC$	9	60
$\barABC$	6	90
$ABC$	9	100

[viaggiatore]

Grazie per il nuovo intervento che gradisco moltissimo. Tuttavia temo non rispecchi esattamente il mio obiettivo ma credo ben probabile che dipenda da miei difetti di spiegazione. Mio dovere, dunque, cercare di chiarire la questione in esame ancora di piu'.

Forse, se la metto giu' in parole poverissime, posso farmi capire meglio.

Un vantaggio che stimo 80, sommando i valori singoli dei vantaggi parziali ( 20 - 40 - 10....)e che considero sicuro come effetto inevitabile.

Uno svantaggio o danno che stimo 90, sempre sommando la gravita' parziale di ogni singolo elemento di danno.

In questo caso, pero', il 90 e' incerto poiche', ogni singolo elemento dannoso ha una differente probabilita' di realizzarsi, anch' essa stimata a spanne, che, ammettiamo, e' pari a 30.

In effetti i valori potrebbero anche superare il 100 poiche' sono la somma di tanti elementi stimati tra 0 e 100. Quindi anche vantaggi pari a 240 e svantaggi 190. Mentre la somma delle singole probabilita' puo' essere, per puro esempio, 160.

Come metto questi dati in maniera tale da fornirmi un sistema razionale che mi indichi un numero o una proporzione o qualsialsi altro dato che mi dica se e quanto valga ipoteticamente la pena di intraprendere una data impresa ( pur basandosi sul fatto che le stime sono soggettive e potrebbero non rispecchiare la realta' con esattezza )? In pratica parlo del livello di accettabilita' del rischio in rapporto alla gravita' del danno secondo la probabilita' stimata che avvenga.

Ecco, ho dato il massimo. Ametto che piu' di cosi' non so fare. Mi rivolgo a voi che siete matematici veri per sapere come ottenere il risultato che spero, almeno nell' idea, di avere delineato.
Scusatemi per la precisazione ma, siccome vi sto dando un' incombenza e voi, gentilmente, l' avete accolta, mi pare il minimo cercare di chiarire nei limiti delle mie capacita' i termini e i fini del problema da risolvere.

Grazie ancora e a presto.

[Injuria]

Da quanto ho capito è un classico problema di assicurazione, visto che ti chiami "viaggiatore" potrebbe calzare il seguente esempio per vedere se coincide col tuo problema: una compagnia mercantile veneziana deve decidere se sia conveniente intraprendere un viaggio a Creta o meno. I finanziatori dell'impresa valutano eventuali vantaggi e rischi attribuendogli una probabilità in maniera soggettiva. Un prospetto che hanno fatto è il seguente:
Vantaggi:
- Carico di tessuti migliori da vendere sul mercato europeo. P = 0.7. Rendimento: +100% sul capitale investito
- Nuovi contratti coi mercanti orientali. P = 0.2. Rendimento: + 20%
Rischi:
- Attacco dei pirati. P = 0.1. Perdita: -100% (nave e merci rubate)
- Scarsità di merci interessanti per il mercato europeo. P = 0.2. -20% (prodotti invenduti)

A questo punto è facile, per vari finanziatori, disegnare gli scenari possibili. Attraverso il calcolo del valore atteso, seguito dal calcolo dei vantaggi - svantaggi decidono se l'impresa sia da fare o meno.

[axpgn]

A me pare che la tabella che ho fatto (come esempio ovviamente) rappresenti quello che vuoi ... IMHO ...

La spiego ...

Ho tre eventi: l'evento $A$ che ha una probabilità di successo (stimata da me cioè te ) del $60%$ e a cui associo un valore di $10$ (che sia un vantaggio o una perdita non è importante lo decidi tu così come lo puoi associare al successo o all'insuccesso); nel caso che l'evento $A$ non accada (insuccesso) la probabilità è del $40%$ ovviamente e nella tabella l'insuccesso di $A$ è rappresentato con $\barA$ ovvero c'è una barra sopra la $A$, inoltre se vuoi puoi associarvi un altro valore, positivo o negativo che sia ...
La stessa cosa ho fatto per gli altri due eventi ...
Essendo tre eventi i casi possibili sono $8=2^3$ e per ciascuno di essi la probabilità si ottiene moltiplicando le tre rispettive percentuali cioè $AB\barC=0.6*0.5*0.7=21%$ e il valore sommando semplicemente ... $AB\barC=10+40+0=50$
Dalla tabella così fatta puoi ricavarti altre casistiche ... per esempio se vuoi sapere la percentuale che accada $A$ da solo oppure accompagnato da $B$ ti basta sommare $A\barB\barC+AB\barC+ABC=21+21+9=51%$ mentre per il valore va fatta una media ponderata $A\barB\barC+AB\barC+ABC=(10*21+50*21+100*9)/(21+21+9)=42.35$

Cordialmente, Alex

[viaggiatore]

Gentilissimi amici,
in realta' non si tratta di assicurazioni. Pero' la deduzione era molto sensata. Grazie per il tuo opportuno suggerimento che tengo di sicuro in considerazione.
Alex, ora il tuo prospetto mi e' molto piu' chiaro. Chiedo la gentilezza di avere un po' di tempo per potermelo studiare come merita e poi, se avrai la bonta' di tollerarle, ti faro' due o tre domande su alcuni aspetti che non conosco. Penso che tu abbia ragione: la tua proposta pare proprio adeguata. Grazie per aver insistito. Mi faccio vivo prestissimo perche' lo vorrei capire bene.
Adesso mi trovo un tantino preso ma non volevo mancare di rispondere.
A presto!

[viaggiatore]

Ciao Alex,
ora ti farò alcune domande che ti sorprenderanno per la loro stupidità ma questo è il mio livello.

1) gli eventi, immagino, potranno essere A, B, C, D, F e quanti ne desidero. I casi come si calcolano? Su 3 eventi è 2 alla terza. A cosa si riferisce il 2 e a cosa la potenza?

2) nel caso ABC col trattino sulla C, 0.6, 0.5 e 0.7 da cosa vengono? Anzi cosa sono e come si calcolano?

3) Se A ha il 60% di probabilità, B il 50 e C il 30, nella colonna centrale della tua tabella, p% cos' è?

4) Se io volessi sapere solo in riferimento ai casi A, B e C, nella tua tabella dovrei calcolare solo gli ABC ognuno con la propria lettera senza trattino o i tre casi in cui si trovano la A scoperta, poi AB scoperte e in ultimo ABC?

Mi rendo conto che siano domande imbarazzanti ma se non ti chiedo queste spiegazioni, il tuo impegno sarà stato vano.
Grazie per la pazienza. Spero avrai tanta generosità da volermi rispondere.
A presto!

[axpgn]

1) Poniamo di avere $n$ eventi indipendenti, non legati fra loro, ciò significa che può accadere solo $A$ oppure $B$ e $F$ assieme oppure anche tutti gli eventi insieme; questa situazione equivale ad avere un insieme $Z$ di $n$ elementi ed i vari casi possibili sono equivalenti ai sottoinsiemi di $Z$.
Esiste un teorema che afferma che i sottoinsiemi di un insieme contenente $n$ elementi sono pari a $2^n$, da qui la nostra situazione: $n$ eventi da cui $2^n$ combinazioni possibili (dal "non succede niente" al "accadde tutto" ... )

2) Ad ogni evento assegno un nome (p.es. $A$) ed una probabilità di riuscita (p.es. $A=60%$); contemporaneamente "nasce" il "non accadimento" che rappresento con $\barA$ (cioè $A$ con la barra sopra) il quale avrà anch'esso una probabilità di riuscita (p.es. se $A=60%$ allora $\barA=40%$ che il suo complemento a $100%$).
Nell'esempio che ho fatto (con tre eventi) i casi possibili sono $8=2^3$; ognuno degli otto casi è una combinazione dei tre eventi, avvenuti o meno; per esempio $AB\barC$ significa che gli eventi $A$ e $B$ sono avvenuti mentre il $C$ non è avvenuto; la probabilità di questa combinazione $AB\barC$ non è altro che il prodotto delle tre probabilità di ciascun avvenimento (p.es. se $A=60%$, $B=50%$ e $C=30%$ allora moltiplicherò $0.6*0.5*0.7$ dove $0.70$ è la probabilità di $\barC$ ovvero il complemento a $100%$ di $C=30%$).

3) Questa probabilità di ogni singolo caso è la colonna $p%$ (probabilità percentuale).

4) Se vuoi avere la probabilità del caso $A$ (indipendentemente da cosa accade agli altri) devi sommare tutte le probabilità in cui compare $A$ (ed ovviamente scartare quelle in cui hai $\barA$).
Però se ti interessa il caso "singolo" (solo $A$, solo $B$, ecc.) allora è inutile fare qualsiasi calcolo perchè la probabilità che accada $A$ sarà quella che gli hai dato tu, siccome è indipendente da quello che accade agli altri ...

Cordialmente, Alex