Perchè complicare ? Hai sia $x(\theta)$ che $y(\theta)$ , dove ho messo $\theta (t)$ al posto della semplice $t$ delle equazioni iniziali da te scritte, per evidenziare appunto che si tratta di un angolo funzione del tempo.
Allora, si tratta di calcolare le derivate di $x$ e di $y$ rispetto a $t$ , come funzioni composte $x= x(theta(t)) $ e analoga per $y$ . Facendo queste derivate, e scrivendo l'energia cinetica come ho già detto, si ottiene che :
$ T = mr^2dottheta^2(1-costheta) $
ed essendo : $V = mgr(1-cos\theta)$
la lagrangiana è data da : $L =T-V = mr^2dottheta^2(1-costheta) - mgr(1-cos\theta)$
Per quanto riguarda il calcolo
del tempo che chiedi, in genere si studia la trattazione del tempo di caduta di un grave , lungo un arco di cicloide (rovesciata, cioè con concavità verso l'alto) , e devo dirti che non è semplice . Si tratta di calcolare il tempo a partire da : $v = (ds)/(dt) \rightarrow dt = (ds)/v$ , e quindi di integrare tra due istanti di tempo dati.
Qui trovi molti articoli che ne parlano . Tra questi , ti segnalo quello di Erman Di Rienzo , che fa (o faceva) parte del nostro forum "matematicamente.it" . Ma anche altri articoli sono degni di nota. C'è il calcolo del tempo quasi dappertutto .
Una proprietà notevole della cicloide rovesciata è che , dati due punti A e B in un campo gravitazionale uniforme, la traiettoria passante per A e B, percorsa da un grave in caduta libera, alla quale corrisponde
il minore tempo per fare il percorso , non è il segmento di retta che unisce A a B , ma è l'arco di cicloide passante per i due punti .
Evito di copiare e incollare , è tutto scritto in queste dispense.
Buona lettura !
We look for patterns when we are hungry or threatened, rather than bored. I don't think we needed to think about things when we were in standby mode in the ancient past.