Rette complanari

[abaco90]

Ciao,

ho questo quesito:

Determinare le equazioni parametriche della retta $ r $ passante per i punti $ A = (2, 3, 1) $ e $ B = (0, 0, 1) $ e della retta $ s $ passante per i punti $ C = (0, 0, 0) $ e $ D = (4, 6, 0) $.
Stabilire se $r$ e $s$ sono complanari.

Quello che mi interessa è la parte in grassetto, quello prima l'ho gia fatto.

Le eq. parametriche che ho ottenuto sono:

Retta $ r $

$ x = -2t + 2 $
$ y = -3t + 3 $
$ z = 1 $

Retta $ s $

$ x = 4t $
$ y = 6t $
$ z = 0 $

Ora, il mio ragionamento per determinare se sono complanari è questo...

Per essere complanari devono essere: parallele, incidenti o coincidenti.
Per determinare ciò mi trovo le equazioni lineari delle due rette:

Retta $ r $ --> $ y = 3/2x $

Retta $ s $ --> $ y = 3/2x $

Le due rette sono coincidenti quindi complanari.

E' giusto? Grazie!

[Giux]

non possono essere complanari.. nelle equazioni parametriche $r$ ha la $z=1$, mentre $s$ ha $z=0$, appartengono a piani diversi, controlla meglio le equazioni parametriche, mi sembra da quanto hai scritto che sono parallele ma appartengono a piani diversi

[abaco90]

La soluzione del testo dice che sono complanari, ma segue un procedimento diverso da quello che ho fatto io per stabilirlo.

[Giux]

Devi trovare il piano che contiene le due rette, non sono la stessa retta, hai sbagliato nell'ultimo passaggio

[abaco90]

Nell'ultimo passaggio vedo che le due rette hanno la stessa eq. lineare, cioè sono uguali.
Sapere che le due rette sono coincidenti mi porta a dire che sono complanari.

[abaco90]

La retta $ r $ ha $ z = 0 $ perchè è stata traslata in modo che passasse per il punto $ A $; se non l'avessi traslata passerebbe dunque per l'origine e la sua equazione avrebbe $ z = 0 $.

[abaco90]

Anzi probabilmente sono parallele, perchè l'eq. lineare considera solamente $x$ e $y$, quindi è normale che appaiano coincidenti.
Infatti $z$ è diverso, quindi significa che sono traslate sull'asse $z$, ciò significa che sono parallele. Giusto?

[Giux]

Allora, tu sai che per ricavarti l'equazione parametrica $p(t) = A + t(B-A)$ devi calcolarti il vettore diretto secondo $A$ e $B$
cioè:
$r(t): (2, 3, 1) +t(0-2, 0-3, 1-1) = (2, 3, 1) + t(-2, -3, 0)$

$r: \{(x = -2t + 2), (y = -3t + 3), (z = 1):} $

per la retta s:
$s(t): (0, 0, 0) +t(4-0, 6-0, 0-0) = t(4, 6, 0)$

$s: \{(x = 4t), (y = 6t), (z = 0):} $

e fin qui il tuo ragionamento va bene...

ora per determinare se queste rette sono complanari basta vedere se il seguente determinante è nullo

$|(x_0'-x_0, y_0'-y_0, z_0'-z_0), (l, m, n), (l', m', n')|= |(4-(-2),6-(-3), 0-1),(2,3, 1), (0, 0, 0)|$

che chiaramente è nullo(in quanto l'ultima riga e nulla), quindi le due rette sono complanari e sono anche parallele

Quando ti ricavi le rette nella forma esplicita, ottieni si, due espressioni uguali in $y$, ma perdi il significato di z che nel primo caso vale $1$
nel secondo vale $0$, le rette sono parallele e traslate lungo l'asse $z$ di una unità, se ti fai uno schizzo si vede facilmente

[abaco90]

Ma il determinante della matrice mi dice solo che sono complanari giusto? Non mi dice se sono parallele?

[Giux]

Giusto, ma siccome hanno lo stesso vettore direzione(a meno del fattore moltiplicativo -2) se ti calcoli il loro prodotto vettoriale ti viene 0, e da qui ne ricavi il parallelismo

$|(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}), (-2, -3, 0), (4, 6, 0)| = \hat{i}|(-3, 0), (6, 0)| - \hat{j}|(-2, 0), (4, 0)| + \hat{k}|(-2, -3), (4, 6)| = \hat{i}0 +\hat{j}0 +\hat{k}0 = \overline{0}$